Méthode générale de résolution

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Une inversion du jeu en 66 coups

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3 Cycles de permutations circulaires

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Déplacement de la case vide

  Cette case vide ou lacune est indispensable au déplacement des pions sur le damier. Pour une configuration initiale donnée, la suite des numéros des cases successivement occupées par la lacune suffit à décrire l'historique de la partie.

Permutation

  Le cycle le plus élémentaire consiste en une permutation circulaire des pions occupant, à un moment de la partie, les cases 6,0 et 9. Comme tout cycle utile :

  • il commence et se termine avec la lacune en F, condition indispensable à l'enchaînement de différents cycles
  • il ne déplace pas les autres pions ( dans les cas plus complexes ces déplacements seront toujours provisoires)
  • il est utilisable à tout moment, indépendamment des valeurs des pions.

  Les mouvements de la lacune correspondent à la chaîne {906F}.
Le schéma de gauche représente les positions successives de la lacune.
Celui de droite décrit le résultat de l'opération.
L'enchaînement {609F} conduit bien évidemment à une rotation inverse

.

Ici la lacune revient en F après 8 sauts:

  • par {6DB5E79F}, à gauche
  • ou, son inverse {97E5BD6F}, à droite

  De nouvelles permutations résulteront de la concaténation de ces chaînes, ou de leur inverse.
  Ainsi :

- par {609F}le pion de la cases 6 occupe la case 9
- le pion initialement en case 0 est transféré en case 5 par {6DB5E79F}
- d'où il regagne sa position initiale par nouveau cycle {609F}
- le jeu est réorganisé par {97E5BD6F}.

  Au total on obtient la permutation circulaire des pions des cases 6, 9et D en 20 coups par
{609F6DB5E79F6097E5BD6F}.
  L'enchaînement ci-dessous conduit au même résultat en 18 coups seulement.


Quelques permutations circulaires

  Certaines de ces permutations sont réalisées en un minimum de coups.
  D'autres résultent de la concaténation de chaînes plus élémentaires: elles sont certainement réalisables selon des cycles plus courts restant à découvrir.

1 - Pions des cases 6, 9 et D

  1. sens direct : {609F6DB29F6092BD6F}
  2. sens opposé : {6DB2906F92BD6F906F}.

2 - Pions des cases 6, 7 et 9

  1. sens direct : {6097186F906817906F}
  2. sens opposé : {609718609F6817906F}.

3 - Pions des cases 7 9 D

  1. sens direct : {609F6DB29F6092BD609718609F6817906F}
  2. sens opposé : {6097186F906817906DB2906F92BD6F906F}.

4 - Pions des cases 6 7 D

  1. sens direct : {6DB2906F92BD6F97186F906817906F}
  2. sens opposé : {609718609F68179F6DB29F6092BD6F}.

5 - Pions des cases 6, B et D

  1. sens direct : {6DB5E79F6DB2906F92BD6F906F97E5BD6F}
  2. sens opposé : {6DB5E79F609F6DB29F6092BD6F97E5BD6F}.

6 - Pions des cases 7, 9 et E

  1. sens direct : {2(97E5BD6F)6DB2906F92BD6F906F 2(6DB5E79F)}
  2. sens opposé : {2(97E5BD6F)609F6DB29F6092BD 2(6DB5E79F)}.

7 - Pions des cases 5, B et D

  1. sens direct : {2(6DB5E79F)6DB2906F92BD6F906F 2(97E5BD6F)}
  2. sens opposé : {2(6DB5E79F) 609F6DB29F6092BD6F 2(97E5BD6F)}.

8 - Pions des cases 5, 7 et E

  1. sens direct : {3(97E5BD6F)6DB2906F92BD6F906F 3(6DB5E79F)}
  2. sens opposé : {3(97E5BD6F) 609F6DB29F6092BD6F 3(6DB5E79F)}.

9 - Pions des cases 5, B et E

  1. sens direct : {3(6DB5E79F)6DB2906F92BD6F906F 3(97E5BD6F)}
  2. sens opposé : {3(6DB5E79F)609F6DB29F6092BD6F 3(97E5BD6F)}.

10 - Pions des cases 5, A et B

  1. sens direct : {924AC53A42B53AC5B2971A35CA35B24A35CA42B53A179F}
  2. sens opposé : {971A35B24AC53A42B53AC53A1792B5CA35B24A35CA429F}.

11 - Pions des cases 5,A et E

  1. sens direct : {6D4AC5E81A35CA18E5CA35CA4D68E53AC5E81AC53A186F}
  2. sens opposé : {681A35CA18E5CA35E86D4AC53AC5E81AC53A18E5CA4D6F}.

12 - Pions des cases 5, A et E

  1. sens direct : {681A35CA18E5CA35E86D4AC53AC5E81AC53A18E5CA4D6F971A35B 24AC53A42B53AC53A1792B5CA35B24A35CA429F}
  2. sens opposé : {924AC53A42B53AC5B2971A35CA35B24A35CA42B53A179F 6D4AC5E81A35CA18E5CA35CA4D68E53AC5E81AC53A186F}.

13 - Pions des cases B, D et E

  1. sens direct : {6DB5E79F6DB5E79F609F6DB29F6092BD6F6DB5E79F6DB2906F9 2BD6F906F97E5BD6F97E5BD6F97E5BD6F}
  2. sens opposé : {6DB5E79F6DB5E79F6DB5E79F609F6DB29F6092BD6F 97E5BD6F6DB2906F92BD6F906F97E5BD6F97E5BD6F}.

14 - Pions des cases 7, B et E

  1. sens direct : {6DB5E79F6DB5E79F6DB5E79F6DB2906F92BD6F906F 6DB5E79F609F6DB29F6092BD6F6DB5E79F6DB5E79F6DB5E79F}
  2. sens opposé : {97E5BD6F97E5BD6F97E5BD6F6DB2906F92BD6F906F 97E5BD6F609F6DB29F6092BD6F97E5BD6F97E5BD6F97E5BD6F}.

15 - Pions des cases 9, B et D

  1. sens direct : {906F92BD6F92BD609F6DB2906F}
  2. sens opposé : {6092BD6F906DB29F6DB29F609F}.

16 - Pions des cases 6, 7 et E

  1. sens direct : {9068E79F6097E86F97E86F906F}
  2. sens opposé : {609F68E79F68E7906F97E8609F}.

   Résoudre de nouveaux cycles par concaténation d'anciens est une solution facile, elle a le seul inconvénient d'allonger les chaînes. Il reste donc à simplifier ces permutations et à en établir quelques autres.


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