Relations avec les suites d'ordres supérieurs

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Suites récurrentes du second ordre

4 Applications

1 Propriétés fondamentales

2 Relations entre les suites

3 Relations avec les suites d'ordres supérieurs

4 Applications

Formulaire


1 Loi de Benford

  Elle prévoit que dans les ensembles de nombre le 1er chiffre (celui de gauche) sera "1" dans 30.1% des cas, "2" dans 17.6% ... et "9" dans seulement 4.6%. La suite de Fibonacci suit parfaitement cette loi, mais pour la suite :

un= 4 un-1+ 3 un-2    u0=2     u1=11

tous les éléments, de u0 à u200 , commencent par 1, 2 ou 5! Surprenant mais explicable.


2 Tours de Hanoi

  Dans ce jeu le nombre minimum d'opérations nécessaires pour transférer une tour d'une tige à une autre augmente avec le nombre de disques constituant cette tour. La suite { 0, 1, 3, 7, 15, ... }représente les nombres de déplacements indispensables pour transférer des tours de 0, 1, 2, 3, 4, ... disques, c'est aussi une suite récurrente du second ordre, obéissant à la règle de récurrence :

un = 3 un-1- 2 un-2


3 Equation diophantienne

  Un nombre triangulaire est un nombre entier de la forme Tn=n(n-1)/2 , un nombre carré est un nombre entier de la forme Cn=n2 : dresser la liste exhaustive des nombres qui sont à la fois triangulaires et carrés.

  Le problème peut aussi se poser sous forme de récréation mathématique:

  Soit X disques de diamètres identiques, quelles sont les valeurs de X qui permettent de ranger indifféremment ces disques en carré de U rangées de U disques ou en triangle équilatéral de T disques de base ?

  Ceci revient à résoudre l'équation diophantienne:

  Cette équation peut se transformer en équation de Fermat: on multiplie d’abord les deux membres par 4

puis on pose :

il vient :

d’où l’équation de Fermat, encore appelée équation de Pell:

dont les solutions forment des suites récurrentes où u et t suivent la même relation de récurrence :

Pour plus détails sur l'équation de Pell, voir : http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

  Il en sera de même pour U, puisque U = u/2

  Pour T, on aura :

  Les deux premières solutions sont évidentes :

u0=0 t0=1 et u1=2 t1=3

l’application des relations de récurrence conduit progressivement aux suivantes.

n

u

t

U

V

T

X

0

0

1

0

2

0

0

1

2

3

1

6

1

1

2

12

17

6

34

8

36

3

70

99

35

198

49

1225

4

408

577

204

1154

288

41616

Remarque

Les suites { u } et { t } résultent d’une partition selon la parité des indices des termes de deux suites régies par :

{ u’ } = 0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 ...

{ t’ } = 1 , 1 , 3 , 7 , 17 , 41 , 99 , 239 , 577 ....

  Les termes d’indices impairs constituant les solutions de l’équation diophantienne:

  En introduisant {V} la suite liée à {U} par (1.1.2):

X , carré de U , est accessible par (2.1.3).

  Ici b=-1 et =32 d'où :

puisque U0= 0 U1= 1 a=6 et b= -1 , Ku=1

  Avec (1.2.7)

  Compte tenu des valeurs de a et de b , A = 3 + 2 et B = 3 - 2 , B2n sera vite négligeable quand n croit et puisque AB=1

  Ou puisque

qui donne la suite des solutions :

n

X

0

-.031

1

0.999

2

36

3

1 225

4

41 616

5

1 413 721

6

48 024 900

7

1 631 432 881

8

55 420 693 056


4 Continuons par l'entomologie

  Le mâle de l'abeille, le faux bourdon des apiculteurs, a une mère, la reine de la ruche, mais n'a aucun père !
  Chez l'abeille un ovule fécondé produira une femelle, ouvrière ou nouvelle reine selon la nourriture reçue par la larve, et un ovule non fécondé donnera un mâle.
  Les rares mâles qui auront le privilège de féconder une reine y perdront leur appareil génital et en mourront.

  L'arbre généalogique d'un faux bourdon présentent donc de nombreuses lacunes.

  Il s'avère que le nombre de ses ascendants par génération appartient à la suite de Fibonacci !


5 Terminons par la botanique.

  Le parallèle entre les structures spiralées de certaines plantes et la suite de Fibonacci aurait été établi dès le XV eme siècle.

  La disposition des graines de tournesol et celle des pignons de pin, sont particulièrement spectaculaires, les nombres de spirales sont toujours des nombres de Fibonacci  :   ... 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... 

  Les fractales aussi se rencontrent dans la nature, le choux fleur en est une illustration courante avec l'arbre, le poumon et la côte bretonne.

  Merveille parmi les merveilles le Chou Romanesco cumule la nature fractale du choux fleur et la structure de la pomme de pin : chaque terminaison florale est constituée de spirales dont le nombre appartient à la suite de Fibonacci !

  Avec un peu patience et d'attention cela se vérifie aisément sur la photo ci-contre.


Cliché : Ginette Creusot


  D'autres applications dans ces quelques sites

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.html


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