Relations entre les suites

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Suites récurrentes du second ordre

3 Relations avec les suites d'ordres supérieurs

1 Propriétés fondamentales

2 Relations entre les suites

3 Relations avec les suites d'ordres supérieurs

4 Applications

Formulaire


  Les suites récurrentes du second ordre peuvent, sous condition, s'exprimer sous forme de suites récurrentes d'ordres 3, 4 ou biens supérieurs .


3.1 Relations avec les suites d'ordre 3

  Soit une suite récurrente du second ordre

(3.1.1)

u1 et u2 donnés.

  On en déduit :

d'où

et la relation où un terme d'une suite du second ordre appartient aussi à une suite du troisième ordre :

(3.1.2)

  Relation de récurrence qui permet de calculer tous les termes de la suite (3.1.1), sous réserve que

appartiennent à la suite (3,1,1)

  La relation du second ordre (3.1.1) peut s'écrire sous d'autres formes, entre autres :

dont on tire :

et aussi

  En reportant les seconds membres des deux dernières dans le second membre de la première 

(3.1.3)

3.2 Relations avec les suites d'ordre 4

  La même démonstration peut s'appliquer à la relation (3.1.2) qui conduit à :

d'où

qui reportés dans (3.1.1) donnent :

 

(3.2.1)

  De même, en multipliant

par b2 on obtient

  Partant de (3.1.3) :

d'où

 

(3.2.2)

  Si les éléments  un-6 à un-3  et un+3 à un+6 appartiennent à la relation de récurrence (3.1.1), les suites (3.2.1) et (3.2.2) seront constituées des mêmes éléments.

3.3 Relations avec les suites de tous ordres

  De proche en proche on démontrerait :

 

(3.3.3)

  Et aussi :

 

(3.3.4)

  Dans les deux cas, flagrante analogie avec le développement du binôme

3.4 Démonstration

  Comme il a été montré en 1.2 , le nième terme d'une suite récurrente du second ordre se calcul à partir des solutions de l'équation :

 

(3.4.1)

  La première ligne du tableau (3.3.3)  rappelle la relation de récurrence des suites d'ordre 2, les suivantes sont en fait des relations de récurrence d'ordre 4, 6, 8, 10  ayant des termes nuls. Pour accéder directement au nième termes des suites correspondant à la deuxième ligne du tableau il serait nécessaire de rechercher d'abord les racines de l'équation :

c'est à dire calculer les racines de :

et, en généralisant, calculer les racines d'équations du type :

  

  Or, ces équations possèdent toutes deux racines identiques à celles de (3.4.1) puisque :

  Il suffira donc, comme pour les suite du second ordre, de satisfaire  q2 = aq + b  pour rendre toutes ces relations de récurrence applicables aux suites du second ordres, sous la seule réserve que les termes des membres de droite appartiennent à une suite du second ordre.

  Les relations de récurrence du tableau (3.3.4) se démontrent de façon semblable.

  Celle de la deuxième ligne se démontrera à partir des racines de :

ou, plus simplement, des racines de :

généralisable sous la forme :

qui possède, entre autres, les racines de q2 = aq + b puisque dans ce cas aussi :

  Toutes les relations figurant dans les deux tableaux, ainsi que leurs suivantes, décriront aussi une suite récurrente du second ordre, si tous les termes de leur second membre appartiennent à cette dernière.

3.5 Application à la suite Fibonacci

  a et b valant 1 , tout se simplifie

(3.4.2)

et

(3.4.3)

  La relation de la deuxième ligne de (3.4.2) conduit à :

en lui ajoutant ou en lui soustrayant la deuxième relation de (3.4.3) on obtient :

  En opérant ainsi sur toutes les lignes des deux tableaux, on obtient :

(3.4.4)

et

(3.4.5)

  Les deux premières lignes de chaque tableau donnent :


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