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Relations avec les suites d'ordres supérieurs

Suites récurrentes du second ordre

2 Relations entre les suites

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2 Relations entre les suites

3 Relations avec les suites d'ordres supérieurs

4 Applications

Formulaire


  Les formules (1.2.3) et (1.2.6) d’une part, (1.2.7) et (1.2.8) d’autre part, permettent d’établir des relations entre éléments de ces suites. Si l'on s'intéresse seulement aux suites fondamentales, le produit membre à membre de ces deux dernières donne immédiatement :

  Avec (1.2.3) et (1.2.6) la démonstration sera un peu plus laborieuse et la formulation moins sobre, mais le domaine d’application s’étendra à toutes les suites récurrentes du second ordre, y compris celles dont les déterminants sont nuls ou négatifs. Ces deux formules, applicables seulement aux suites dont le discriminant est positif, sont particulièrement adaptées à l’établissement de nouvelles relations, mais l'universalité des résultats devra toujours se démontrer, par récurrence le plus souvent.


2.1 Produits d'éléments

2.1.1 Produit unum

  La relation (1.2.3) est réécrite avec un second indice m, le produit membre à membre des deux versions donne :

d'où

et

(2.1.1)

  Bien que cette relation ait été établie pour des suites ayant un discriminant positif, elle est aussi démontrable par récurrence et donc applicable aux autres cas.

Démonstration par récurrence

Récurrence sur m
  Pour 3 valeurs consécutives de
m , (2.1.1) donne :

  Si la proposition est vraie pour m et m+1, on vérifie qu’elle sera également vraie pour m+2, puisque la somme membre à membre des deux premières équivaut à la troisième. En effet, on retrouve la relation de récurrence avec les 3 membres de gauche, les 3 premiers termes du membre de droite ainsi qu'avec les 3 seconds et les 3 derniers.
  Reste à démontrer qu’elle reste vraie pour tout
n quand m=0 et m=1.
Pour
m=0

devient après application de ( 1. 1. 4 ) et simplification :

c’est à dire (1.3.8).
Pour
m=1

  Le même procédé donne :

encore (1.3.8), mais pour (n-1).
  On en conclue, par le raisonnement habituel, que la relation est vérifiée pour toutes les valeurs de n et m (m inférieur ou égal à n ) et que la relation de récurrence s’applique effectivement à l’indice m.

  Récurrence sur n
  En prenant
(2.1.1) avec 3 valeurs consécutives de n , les deux membres de la première multipliés par b et ceux de le seconde multipliés par a.

il devient évident, par addition membre à membre des deux premières, que la règle de récurrence est également respectée pour l’indice n. Ce qui achève la démonstration.

Applications

  En faisant m = n dans (2.1.1)

(2.1.2)

  Si, de plus, u0=0 et u1=1, alors Ku=1 et l’expression seulement applicable à la suite fondamentale {U}, se réduit à :

(2.1.3)

  Pour la suite de Fibonacci  (2.1.1) se réduit à :

Fn2 - Fn+1Fn-1 = (-1)n+1

Formule de Cassini

2.1.2 Produit vn vm

  Parallèlement, pour la suite {v} :

conduit à :

(2.1.4)

relation démontrable par récurrence pour la légitimer quelque soit le signe de .

  En faisant m = n :

(2.1.5)

  Qui, comme précédemment, se simplifie pour la suite fondamentale { V } en :

(2.1.6)

  De (2.1.2) et (2.1.5) on déduit la belle relation :

(2.1.7)

2.1.4 Produit unvm

Cas : n m

  Il s’agit d’évaluer le produit d’un élément de la suite {u} par un élément de la suite {v} en utilisant, ici aussi, deux indices distincts pour u et pour v. Le produit membre à membre (1.2.3) et (1.2.6) donne :

  Puisque AB = -b, (1.2.4) et (1.2.5) donnent :

et finalement :

(2.1.8)

applicable sous réserve que m soit au plus égale à n , Un-m étant un élément d’une la suite {U}, obéissant à la même relation de récurrence que un , pour laquelle U0 = 0 et U1 = 1 .

Démonstration par récurrence

  Récurrence sur m
  Pour n quelconque mais constant et 3 valeurs consécutives de n ,(2.1.8) conduit à :

  Si la proposition est vraie pour m et m+1 , on vérifie, comme pour le produit unum qu’elle sera aussi vraie pour m+2 , puisque la somme membre à membre des deux premières restitue la troisième : en effet, on retrouve la relation de récurrence avec les 3 membres de gauche, les 3 premiers termes du membre de droite ainsi qu'avec les 3 seconds et les 3 derniers.
  Ainsi, effectivement, si la relation est vérifiée pour deux valeurs successives de
m , il en sera de même pour la suivante.
  Reste à démontrer qu’elle est vraie pour tout
n quand m=0 et m=1.
Pour m=0

devient avec (1.1.9)

qui donne (1.4.5).
Pour
m=1

toujours avec (1.1.9)

c’est à dire (1.4.6).
  Etant vérifiée, indépendamment de n , pour deux valeurs particulières successives de m ( 0 et 1) , ayant montré que si elle est vraie pour deux valeurs successives quelconques elle l’est aussi pour la suivante, elle sera donc vraie pour m=3 et par récurrence vraie pour tout m quel que soit n.
  La relation est vérifiée pour toutes les valeurs possibles de n et de m , et la règle (1.1.1) s’applique avec l’indice m , reste à montrer qu’elle s’applique également avec l’indice n .

Récurrence sur n  
En maintenant m constant et en appliquant
(2.1.8) à 3 valeurs consécutives de n on obtient 3 expressions dont l’exactitude vient d’être démontrée :

  L’application de la relation de récurrence montre clairement que la troisième relation résulte de la somme membre à membre des deux premières, ce qui complète la démonstration .

2.1.5 Produit umvn

  Cas n m

  On reprend les calculs après permutation des indices de u et de v , mais en gardant la condition n m . Partant de :

on arrive à :

(2.1.9)

également démontrable par récurrence.

  En faisant m = n dans (2.1.8) :

(2.1.10)

2.1.6 Applications des produits

  En retranchant membre à membre (2.1.1) de (2.1.4) il résulte :

(2.1.11)

et pour m = n on retrouve (2.1.7) :

(2.1.12)

  Les sommes membre à membre de (2.1.1) et (2.1.4) donnent :

(2.1.13)

et si m = n :

(2.1.14)

  Sommes et différences membres à membres sur (2.1.8) et (2.1.9) conduisent respectivement à :

(2.1.15)

et

(2.1.16)


2.2 Opérations sur les indices

2.2.1 Sommes d'indices

  Partant de (1.2.11)

puis en développant um+1 et bUn-1 selon la relation de récurrence

il vient après simplification

qui additionné membre à membre avec (1.2.11), donne finalement :

(2.2.1)

et, pour raison de symétrie :

(2.2.2)

  La différence des indices sur la suite {u} s’exprime par :

(2.2.3)

  Les équivalents pour la suite {v} s’obtiendront en appliquant (2.2.1) pour n+1 et n-1

dont la somme membre à membre donne avec (1.1.2) et (1.1.4) :

(2.2.4)

ou symétriquement :

(2.2.5)

  Enfin la différence des indices sur la suite {v} :

(2.2.6)

2.2.2 Application des sommes d’indices aux additions et soustractions

  Somme et différence membre à membre de (2.2.2) et (2.2.3) donnent :

(2.2.7)

et

(2.2.8)

dont le produit membre à membre donne :

(2.2.9)

  Les mêmes opérations sur (2.2.5) et (2.2.6) conduisent à :

(2.2.10)
(2.2.11)
(2.2.12)

cette dernière résultant du produit des deux précédentes.

2.2.3 Sommes d’indices dans les produits

  Considérons la suite de Fibonacci pour laquelle, a = 1, b = 1, U0 = 0, U 1 = 1

{ U } = 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55, 89 , ....

on observe en considérant 3 termes successifs :

1 * 2 = 12 +1

1 * 3 = 22 - 1

2 * 5 = 32+1

3 * 8 = 52 -1

raisonnablement vrai pour tout n

  Pour un indice central donné, 6 par exemple :

13 * 5 = 82 +1

21 * 3 = 82 - 1

34 * 2 = 82+4

55 * 1 = 82 -9

d’où

  Expression utilisable avec toutes les suites fondamentales, en tenant compte de b s'il est différent de 1

et généralisable à toute suite récurrente du second ordre en impliquant sa constante caractéristique :

(2.2.13)

proposition qu’il convient de démontrer.

Démonstration

  Après multiplication des deux membres par width="19" height="21">

  - le premier membre est remplacé par son développement selon (2.1.1)

  en prenant x = n+m et y = n-m

  - le premier terme du membre de droite est remplacé par sa valeur dans (2.1.2) il en résulte, après simplifications :

ce qui achève la démonstration puisque l’on retrouve (2.1.3).

  On aussi

(2.2.14)

qui se démontre de façon semblable.

Démonstration

  Selon le même procédé, appliqué avec (2.1.4), vn+mvn-m devient

avec (2.1.5) :

après substitution et simplification on arrive à la même conclusion que précédemment.

  Pour les deux produits mixtes on a 

(2.2.15)

(2.2.16

dont la somme et la différence membre à membre donnent :

(2.2.17)

(2.2.18)

2.2.4 Produits d'indices

  (2.2.2) et (2.2.5) permettent de développer de nouvelles relations exprimant u2n , u3n , u4n , ... et v2n , v3n , v4n ... en fonction de un , vn , Un et Vn . En substituant (m-1)n à m dans ces deux relations :

on obtient

(2.2.19)

(2.2.20)

d’où, pour les suites fondamentales :

(2.2.21)

(2.2.22)

qui donnent pour m=2 :

(2.2.23)

(2.2.24)

  Mais, (2.1.12) appliquée aux suites fondamentales donne :

d’où

(2.2.25)

2.2.5 Sommes d 46;indices dans les différences de produits

  Suivent quelques relations établies avec l'assistance d'un ordinateur et vérifiées sur de grandes gammes de valeurs.

(2.2.26)

à

(2.2.35)

  Les démontrer par récurrence constituerait d'excellents exercices!

  Mieux vaut utiliser, selon la cas considéré, une des relations (2.1.1), (2.1.4) ou (2.1.8).

  Ainsi, pour démontrer (2.2.26), ses deux premiers termes seront développés avec (2.1.1), après simplification on obtiendra une relation entre éléments de U et V, identifiable à (2.2.11) .


2.3 Partitions

  Soit une suite récurrente suivant la relation (1.1.1), elle peut se décomposer en deux suites : celle formée de ses termes d’indices pairs et celles des termes d’indices impairs. Ces nouvelles suites sont-elles récurrentes, et si oui à quelles relations obéissent-elles. 

  La relation de récurrence (1.1.1) conduit aux deux formes :

  Leur soustraction membre à membre permet d’exprimer aun-1 uniquement avec des termes d’indices de même parité :

qui, reporté dans (1.1.1) donne, sachant queV2=a2+2b :

(2.3.1)

  On obtient ainsi deux nouvelles suites récurrentes du second ordre, formées à partir des termes de même parité de la suite initiale. Leurs termes s’expriment en fonctions des deux termes antérieurs de même parité de la suite d’origine.

  On peut aussi réaliser des partitions en un plus grand nombres de suites. La relation (2.2.7) peut s’écrire :

en faisant n’= n-m elle devient :

(2.3.2)

qui constitue une nouvelle relation de récurrence qui exprime les termes de {u} de m en m .

  Parallèlement, avec (2.2.10) :

(2.3.3)

  La relation de récurrence étant la même pour les suites {u} et {v} il est logique que les règles de récurrences pour les pas supérieurs à 1 soient également communes aux deux suites.


2.4 Quotients

  Ainsi, sommes, différences ou produits de termes ou d'indices génèrent de nouvelles suites récurrentes. Si les quotients n'ont pas voix au chapitre, en revanche ils ouvrent des voies d'accès vers Pi . 

  Si   Un+2 = Un + Un+1   avec   U0>0 et U1 > 0  alors :

 

(2.4.1)

 

  Démonstration géométrique d'après Boris Gourévitch dans l ' Univers de Pi .

  Si, pour simplifier l'écriture :   Un = A  et   Un+1 = B

alors :   Un+2 = A+B  et   Un+3 = A+2B

  Dans un rectangle de largeur A+B et de longueur A+2B , les deux triangles rectangles bleus  sont égaux par 

construction.

  Le triangle rouge est donc rectangle et isocèle, d'où :

  Or, il apparaît clairement que :

ce qui démontre :


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