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Fonctions de Fibonacci et de Lucas


1 Fonction de Fibonacci

  La suite de Fibonacci:

est une suite récurrente dont chaque élément obéit à la relation de récurrence:

avec

  Son historique et ses propriétés sont largement décrites sur de nombreux sites, dont trois pages incontournables :

  • La vie et l'oeuvre de Fibonacci dans Chronomath .
  • Fibonacci and Golden Ratio Formulae pour les relations existant entre ses nombres .
  • Fibonacci Numbers and Nature surtout pour les implications apicoles de la suite de Fibonacci, car si tout humains a 2 parents, 4 grands parents, 8 bisaïeuls ... , chez l'abeille où le mâle naît d'un oeuf non fécondé, 1 faux bourdon a 1 mère, 3 grands parents, 5 bisaïeuls , 8 trisaïeuls ... Je proposerais même de commencer par 0 descendant pour un mâle vivant, puisque les rares mâles appelés à féconder une reine y laissent leur vit !

  Cette suite peut s'étendre aux indices négatifs avec :

mais dans quelles conditions peut-on l'interpoler entre deux indices consécutifs ?

  La formule de Binet permet de calculer directement le énième terme de la suite de Fibonacci

ou, avec phi, le fameux "nombre d'or"

dont on déduit

la formule de Binet peut prendre la forme :

ou, selon la parité de l'indice

respectivement applicables aux indices pairs et impairs.

  Ces deux expressions sont identiques aux fonctions hyperboliques de Fibonacci, introduites en 1988 par O.Stakhov et I.Tkachenko , et décrites sur: http://www.mathworld.wolfram.com/FibonacciHyperbolicFunctions.html

  Elles présentent effectivement une flagrante analogie avec les fonctions hyperboliques et puisque :

on peut aussi écrire, toujours selon la parité, les deux formules

qui restituent respectivement les nombres de Fibonacci d'indices pairs et impairs, fonctions qui décrivent 2 courbes d'interpolations entre 2 indices successifs de même parité.

Enveloppes de Fibonacci
( Figure réalisée avec une des démo de Analyse_Num)

  Pour réaliser l'interpolation entre deux indices successifs, indépendamment de leur parité, il convient d'utiliser la formule de Binet sous sa forme générale, dans la quelle figure un terme négatif. Elevé à une puissance fractionnaire, ce terme conduit à un résultat complexe.

   Avec

la formule de Binet sous la forme

devient

  Les parties réelles et imaginaires respectent isolément la relation de récurrence, même pour les valeurs fractionnaire de n . Si l'on porte ( en rouge ) la partie réelle de cette "fonction de Fibonacci complexe" sur la figure précédente, sa courbe représentative oscille entre les deux enveloppes précédemment définies et prend toutes les valeurs des nombres de Fibonacci pour tous les indices entiers .

Fonction de Fibonacci réelle
( Figure réalisée avec une démo de Analyse_Num)

  L'intégralité de la fonction (parties réelle et imaginaire) ne peut se représenter que dans le plan complexe

Fonction de Fibonacci complexe

  Les points bleus correspondent aux valeurs entières de x, ils se retrouvent sur l'axe réel pour x entier positif .

  Les points rouges correspondent aux valeurs négatives de la variable, ils se positionnent également sur l'axe réel pour x entier, mais de part et d'autre de l'axe imaginaire en fonction de la parité de x, les valeurs intermédiaires forment une spirale. A noter le triple franchissement de l'axe réel au point +1 , puisque la suite de Fibonacci comporte deux 1 par définition et un troisième pour l'indice -1 .

  Le procédé peut aussi s'appliquer aux nombres de Lucas


2 Fonction de Lucas

  La suite des nombres de Lucas

suite récurrente obéissant à la même règle de récurrence que la suite de Fibonacci

mais avec:

  De nombreuses relations lient les nombres de ces deux suites, les plus simples étant :

biens d'autres sont accessibles sur le web, chez R.Knott par exemple, ou bien ici même en prenant : a=1 , b=1 , u0=0 et u1=1

  Le énième terme de cette suite est donné par:

soit en reprenant le "nombre d'or"

ce qui conduit, à la "fonction de Lucas" complexe:

Fonction de Lucas complexe

  Le parallélogramme montre comment la relation de récurrence se vérifie graphiquement.


3 Relations entre les fonctions de Fibonacci et Lucas

  Les deux fonctions complexes, qui permettent l'interpolation des suites de Fibonacci et de Lucas, s'expriment par :

dans ces conditions, on démontre facilement que les relations entre suites du second ordre deviennent des relations entre fonctions applicables à tout x réel.

Démonstration

  En développant ce dernier exemple :

et en simplifiant séparément la partie réelle :

puis la partie imaginaire :

on retrouve effectivement la valeur de la fonction pour 2x

Remarque Si x=n+1/2 , 2x sera entier et le produit des deux nombre complexes Ux et Vx sera nécessairement réel.


4 Du triangle de Pascal à la fonction de Fibonacci réelle

  On sait que la somme des éléments de la énième diagonale ascendante du triangle de Pascal donne le énième nombre de la suite de Fibonacci

  Ceci se démontre par récurrence :

  • les deux premières diagonales, réduites à un élément, correspondent bien aux deux premiers nombres de Fibonacci.
  • si l'on suppose cette propriété vraie pour deux diagonales consécutive,il est facile de montrer,qu'elle sera aussi vraie pour la suivante en appliquant la propriété fondamentale du triangle de Pascal : tous ses éléments sont la somme de deux éléments issus chacun des deux diagonales précédentes


n \ k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

               

1

1

1

             

2

1

2

1

           

3

1

3

3

1

         

4

1

4

6

4

1

       

5

1

5

10

10

5

1

     

6

1

6

15

20

15

6

1

   

7

1

7

21

35

35

21

7

1

 

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

  Cette propriété du triangle de Pascal donne une autre voie d'accès à la partie réelle de la fonction de Fibonacci : si l'on sait transformer le triangle de Pascal en une fonction de deux variables continues, son intégration le long d'une diagonale conduira à la fonction réelle de Fibonacci.

  Les éléments du triangle de Pascal s’expriment par : 

  Les diagonales dont les sommes correspondent aux nombres de Fibonacci d’indices 2n-1 et 2n comportent le même nombre de termes, il convient donc de distinguer ces deux types :

  Pour étendre cette méthode au calcul de la partie réelle de la fonction de Fibonacci il faut d’abord convertir le triangle de Pascal, en une " fonction de Pascal " P(x,y), on utilisera pour cela la fonction gamma (qui équivaut aux factoriels pour les valeurs entières de la variable):

d'où :

  On sait que la fonction gamma peut se représenter par une intégrale définie :

  Cette deuxième forme, résultant du changement de variable , tend plus rapidement vers zéro : son intégration entre t=0 et t=2, avec la méthode des trapèzes pratiquée sur 100 pas restituent les factoriels jusqu’à 55! avec une erreur relative <10-15.

  Pour les nombres inférieurs à -0.5 ou supérieurs à 1 on appliquera plusieurs fois la formule classique :

  Les opérations sont menées à l'aide de deux sous programmes VB :

  • la FUNCTION GAMMA calcul Gamma(x) en intégrant numériquement la seconde formule, de tau=0 à tau =2 par la méthode des trapèzes (Pas=0.2).
  • la FUNCTION FIBO_R calcule en intégrant selon une diagonale, par la méthode des trapèzes au pas de 0.2

Remarque : le recours à la méthode d'intégration décrite sur une des pages du site compliquerait inutilement la programmation, puisque ces 2 fonctions s'annulent aux limites d'intégrations.

x

Théorique

Diagonale

Ecart relatif

14.0

377

377.000801

2.124 10-6

14.2

415.086952

415.087661

1.709 10-6

14.4

457.021771

457.022135

7.966 10-7

14.6

503.193070

503.193143

1.456 10-7

14.8

554.028751

554.028635

-2.091 10-7

15

610

609.999776

-3.673 10-7

   L'essentiel des erreurs provient des extrémités de la diagonale où la courbe tends vers zéro en oscillant de part et d'autre. La précision devient acceptable à partir de x=14 et s'améliore rapidement pour les valeurs supérieures où la contribution relative des extrémités devient négligeable.


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robert.mellet