" PONT BACHELIER ", lieu-dit d'Asnières-sous-Bois, doit son nom
au vieux pont de pierres qui franchit un modeste affluent de l'Yonne.
Après une carrière scientifique
- commencée à l'Institut du Radium, au sein d'une équipe qui a montré que la période du
Béryllium 7 dépend de son état chimique,
- poursuivie au Centre National d'Etude des Télécommunications pour y appliquer les radio-isotopes aux études sur le germanium, puis sur le silicium,
- complétée par diverses collaborations ponctuelles avec des laboratoires universitaires ou industriels,
- terminée en participant à diverses études sur les semi-conducteurs III-V ou encore les supraconducteurs haute température
(
voir les dernières publications),
ce site s'inscrit dans la continuité de ces activités.
Essentiellement consacré aux mathématiques appliquées, il fait
appel aux différences finies, entre autres pour simuler numériquement
l'effet tunnel optique et l'inversion de phase au foyer.
Traiter la propagation d'erreurs par les différences
finies conduit à un algorithme applicable quand la méthode classique
ne l'est plus.
Vous y trouverez aussi :
- une calculatrice programmable virtuelle, utilisant la Notation
Polonaise Inversée
- une méthode de déconvolution aussi simple à comprendre qu'à
appliquer
- ... et même un jeu de réflexion particulièrement ardu !
Si Y est fonction de plusieurs variables aléatoires indépendantes Xixi, l'erreur globale (y) se calcule à partir des dérivées partielles de la
fonction.
Cette méthode académique est souvent difficile à appliquer. Lorsque ce calcul d'erreur devient inextricable un procédé bien plus simple,
utilisant les différences finies, conduit au même résultat.
Trois exemples seront détaillés : la droite de régression, l'inversion de matrice et quelques applications aux fonctions financières.
En spectrométrie il est quelquefois difficile de séparer des pics d'énergies voisines.
Leur élargissement est assimilable à une diffusion de
l'information, un traitement numérique basé sur une équation de la
diffusion de la chaleur avec un temps négatif
permet de remonter successivement aux étapes antérieures.
Le procédé s'applique également au défloutage des photos.
Ondes aquatiques, acoustiques, électriques, électromagnétiques ... , en milieu non dispersif, toutes sont régies par la même
équation aux dérivées partielles :
L'animation ci-contre présente 3 des modes d'oscillation d'une corde tendue, solutions calculées par un programme
travaillant avec les différences finies.
La diffusion de la chaleur dans les solides homogènes et isotropes est régie par une équation aux dérivées partielles
Seuls les cas les plus simples se résolvent analytiquement. Lorsque les conditions aux limites se compliquent,
le recours aux méthodes numériques devient indispensable.
Ci-contre, simulation d'un milieu semi-infini soumis à une variation sinusoïdale de la température de surface, en régime d'équilibre.
En profondeur, la température reste pratiquement constante.
La fusion de zone est une méthode de purification des métaux mais aussi des matériaux stables à leur température de fusion.
En la déplaçant lentement le long d'un lingot longiforme, une étroite zone fondue entraîne avec elle la plupart des
impuretés.
En renouvelant l'opération autant de fois que nécessaire le niveau de purification atteint une limite généralement inaccessible par d'autres
méthodes.
Seul le premier profil de concentration est facilement accessible analytiquement, c'est la raison de cette simulation numérique.
Etant donné un ensemble de valeurs numériques, un lissage selon le critère des moindres carrés consiste à déterminer les
coefficients d'un polynôme de degré inférieur au nombre de points, tel que la somme des carrés des écarts entre chacun des points et la courbe
soit minimum.
Au premier degré on définira la droite de régression ou droite des moindres carrés, mais le logiciel proposé
peut aussi ajuster des
courbes de degrés supérieurs.
La méthode de Savitzky et Golay est aussi abordée, en plus du lissage elle délivre les valeurs des dérivées successives.
La méthode de Newton permet d'approcher les zéros d'une fonction. Pour une variable réelle, chaque zéro est affiné à partir
d’une approximation initiale, depuis laquelle on calcule la tangente de la courbe représentative : son point d'intersection avec l'axe
des x constituera une meilleure évaluation.
L'itération de Xn+1=Xn-F(x)/F'(x) conduit vers la solution.
La méthode est aussi applicable à la variable complexe sous réserve que l’approximation initiale soit complexe.
La description de l'algorithme est accompagnée d'un programme et d'un exécutable.
La fonction erf(x), la fonction gamma(x) et la fonction J(x) de Bessel, sont brièvement présentées, ainsi que leurs
programmations en VB5 , aisément transposable en un autre langage.
Les sources des 3 sous-programmes VB5 de types " Function " y sont disponibles.. Le programme qui les gère est téléchargeable.
Des tableaux étendus de valeurs numériques et quelques tracés, telle la miniature ci-contre, illustrent l'ensemble
La plupart des calculs se satisfont de la simple précision ( 6 à 8 décimales ).
Des applications plus "pointues" exigent la double précision ( 15 à 18 décimales).
Le recours à la multi précision s'impose, non seulement dans la course aux décimales de Pi, mais aussi dans quelques applications pratiques,
l'inversion de grandes matrices par exemple.
Une calculatrice programmable virtuelle, utilisant la Notation Polonaise Inversée, permet de programmer ou corriger
une fonction en cours d'exécution, de tracer cette fonction et ses dérivées, d'en déterminer les maxima, les minima, les
zéros, de l'intégrer entre deux limites ajustables ...
Démonstrations et applications vous habitueront à son utilisation, entre autre :
- la résolution graphique d'un système d'équations
- la décomposition d'un signal rectangle en série de Fourier ( ci-contre)
- 2 méthodes de calcul de la fonction erreur ...
La suite de Fibonacci, U={0,1,1,2,3,5,...}, et la suite de Lucas, V=
{2,1,3,4,7,...}, sont fréquemment décrites, ainsi que les relations qui relient leurs termes, par exemple :
Vn2 - 5 Un2 = 4 (-1)n
Ces deux suites sont des cas particuliers parmi les suites du second ordre, pour lesquelles existent des relations plus
générales quand a , b , u1 et u2 différent de1.
Chacun connaît la suite de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,...} dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui
le précèdent. Son historique et ses propriétés sont largement décrites sur le
Web.
Comme toutes les suites récurrentes elle concerne les nombres entiers, mais comment interpoler la "fonction" entre deux termes?
Dans le plan complexe bien sûr !
La loi de Benford prévoit que dans les ensembles de nombres, ( prix des articles contenus dans un caddie, masses
moléculaires des produits présentés dans un catalogue, population des agglomérations d'un pays...), le 1er chiffre (celui de gauche ) sera
"1" dans 30.1% des cas, "2" dans 17.6% ... et "9" dans seulement 4.6%. Surprenant mais logique : statistiquement
vérifiable et mathématiquement démontrable.
Et avec les suites récurrentes ? Si pour la célèbre suite de Fibonacci l'accord est parfait, dans la suite
un=4un-1 +3un-2 , avec u0=2 et u1=11, tous les nombres depuis u0 jusqu'à
u200 (u200= 5.98..10 133) commencent par 1, 2 ou 5 avec une rigoureuse régularité, mais au-delà ?
De nombreux sites exploitent l'ensemble de Mandelbrot à des fins esthétiques.
Vous trouverez ici une "caméra", téléchargeable, vous permettant d'enregistrer et de visionner vos explorations des moindres recoins
de l'ensemble. En combinant panoramique, trawling, rotation et effets colorés, vous réaliserez les animations de votre choix.
Cette animation, formée de grandissements successifs de l'ensemble au voisinage du point x = -1.401 155
iy = 0 , témoigne de sa nature fractale. Les paramètres ont été minimisés pour alléger le fichier mais des exemples plus représentatifs
sont exposés.
La méthode des trapèzes est la plus simple des
méthodes numériques d'intégration, mais une évaluation un tant soit
peu précise nécessite une subdivision excessive.
On améliorera la précision en pondérant le premier et le dernier
point par 9/24, le second et l'avant dernier par 28/24, enfin le troisième
et l'antépénultième par 23/24, les autres valeurs restant inchangées.
L'exemple ci-contre donne Pi avec 1.3 10-4 d'erreur
malgré les conditions extrêmes imposées: intégration numérique sur 6
points !
Quel est le scientifique du 20ème siècle le plus célèbre ? Albert Einstein, certainement.
Mais la scientifique la plus prestigieuse ? Marie Curie, sans conteste.
Dans un article de vulgarisation, paru dans "La Science et la Vie" en Février 1914, Jean Becquerel retrace l'histoire
des premières années de la radioactivité :
- la découverte de la radioactivité par son père, Henry Becquerel
- la découverte du Radium et du Polonium par Pierre et Marie Curie
- les premiers instruments de mesure
- les étapes théoriques
- les débuts de l'industrialisation ...
Ces quelques pages, extraites d'un numéro spéciale de "La Montagne ", rappellent un exploit réalisé en 1971.
Certains y retrouveront des proches ou des amis disparus, d'autres découvriront des hommes animés d'une passion dévorante, mais chacun ressentira une intense émotion.
Dans un monastère lointain 3 aiguilles supportent 64 disques d'or de diamètres croissants(10 sur la figure).
Les moines s'y emploient à les déplacer selon un rituel précis :
- ils les déplacent un à un et ne peuvent les poser que sur l'une des 3 aiguilles
- ils ne posent jamais un disque sur un disque de diamètre inférieur
Quel sera le temps nécessaire au transfert de la colonne complète sachant qu'ils déplacent un disque par seconde ?
Peut-être une nouvelle façon d'utiliser le Taquin, en passant d'une disposition à une autre par deux types de déplacement :
- soit le mouvement classique par glissement horizontal ou vertical
- soit le déplacement du cavalier des échecs : 2 sauts dans une direction plus 1 saut dans l'autre.
Cette variante transforme le Taquin en jeu de réflexion particulièrement ardu.
Ci-contre, le début de la première partie du jeu téléchargeable. Intéressant ?
xi, l'erreur globale (y) se calcule à partir des dérivées partielles de la
fonction.
