Pont Bachelier

 

  " PONT BACHELIER ", lieu-dit d'Asnières-sous-Bois, doit son nom au vieux pont de pierres qui franchit un modeste affluent de l'Yonne. Avec Lysiane, mon épouse, nous y vivons en retraités.

  Retraite qui a terminé une carrière :
- commencée à l'Institut du Radium, dans une équipe qui a montré que la période du Béryllium 7 dépend de son état chimique
- poursuivie au centre de recherche de France Télécom pour y appliquer les radio-isotopes aux études sur le germanium, puis sur le silicium
- terminée en participant à diverses études sur les semi-conducteurs III-V ou encore les supraconducteurs haute température.

  J'y partage mon temps entre l'apiculture, le jardin et les mathématiques qui, contrairement à un préjugé trop répandu, n'ont rien d'ésotérique.
  Elles sont à la fois une science attrayante et un puissant outil trop méconnu.

 


LE PONT BACHELIER
Aquarelle de NICOLE GUILLIN

  Les applications présentées dans ces pages abordent une large variété de domaines :
- l'efficacité d'une isolation thermique se calcule à partir de l'équation différentielle de la diffusion
- la régression linéaire en projection gnomonique s'est imposée dans une étude archéologique
- la régression multiple a été développée dans le cadre d'une étude sur les boues de lagunage
- la suite de Fibonacci s'implique, entre autres, dans la généalogie des abeilles et la structure du chou Romanesco ...


Analyse numérique d'une fonction

  Une calculatrice programmable virtuelle, utilisant la Notation Polonaise Inversée, permet de programmer ou corriger une fonction en cours d'exécution, de tracer cette fonction et ses dérivées, d'en déterminer les maxima, les minima, les zéros, de l'intégrer entre deux limites ajustables ...
 Démonstrations et applications vous habitueront à son utilisation, entre autre :
- la résolution graphique d'un système d'équations
- la décomposition d'un signal rectangle en série de Fourier ( ci-contre)
- 2 méthodes de calcul de la fonction erreur ...

 


1 à 8 harmoniques impaires


Calculs en multi précision

  La plupart des calculs se satisfont de la simple précision ( 6 à 8 décimales ).
  Des applications plus "pointues" exigent la double précision ( 15 à 18 décimales).
  Le recours à la multi précision s'impose, non seulement dans la course aux décimales de Pi, mais aussi dans quelques applications pratiques, l'inversion de grandes matrices par exemple.

 


Explorateur de l'ensemble de Mandelbrot

  De nombreux sites exploitent l'ensemble de Mandelbrot à des fins esthétiques.
  Vous trouverez ici une "caméra", téléchargeable, vous permettant d'enregistrer et de visionner vos explorations des moindres recoins de l'ensemble. En combinant panoramique, trawling, rotation et effets colorés, vous réaliserez les animations de votre choix.
  Cette animation, formée de grandissements successifs de l'ensemble au voisinage du point    x = -1.401 155   iy = 0  , témoigne de sa nature fractale. Les paramètres  ont été minimisés pour alléger le fichier mais des exemples plus représentatifs sont exposés.

 


Intégration numérique polynomiale

  La méthode des trapèzes est la plus simple des méthodes numériques d'intégration, mais une évaluation un tant soit peu précise nécessite une subdivision excessive.
  On améliorera la précision en pondérant le premier et le dernier point par 9/24, le second et l'avant dernier par 28/24, enfin le troisième et l'antépénultième par 23/24, les autres valeurs restant inchangées.
  L'exemple ci-contre, donne Pi avec 1.3 10-4 d'erreur malgré les conditions extrêmes imposées: intégration numérique sur 6 points !

 

x

f(x)

Cœf.

Pondéré

0

16

9/24

6

0.05

15.38461

28/24

17.94872

0.10

13.79310

23/24

13.21839

0.15

11.76471

23/24

11.27451

0.20

9.756098

28/24

11.38211

0.25

8

9/24

3

Somme =  

62.82373

Somme x pas =  

3.141187


Loi de Benford et suites récurrentes

  La loi de Benford prévoit que dans les ensembles de nombres, ( prix des articles contenus dans un caddie, masses moléculaires des produits présentés dans un catalogue, population des agglomérations d'un pays...), le 1er chiffre (celui de gauche ) sera "1" dans 30.1% des cas, "2" dans 17.6% ... et "9" dans seulement 4.6%. Surprenant mais logique : statistiquement vérifiable et mathématiquement démontrable.
  Et avec les suites récurrentes ? Si pour la célèbre suite de Fibonacci l'accord est parfait, dans la suite un=4un-1 +3un-2 , avec u0=2 et u1=11, tous les nombres depuis u0 jusqu'à u200 (u200= 5.98..10 133) commencent par 1, 2 ou 5 avec une rigoureuse régularité, mais au-delà ?

 


Programmation de fonctions spéciales

  La fonction erf(x), la fonction gamma(x)  et la fonction J(x) de Bessel, sont brièvement présentées, ainsi que leurs programmations en VB5 , aisément transposable en un autre langage.

  Les sources des 3 sous-programmes VB5 de types " Function " y sont disponibles.. Le programme qui les gère est téléchargeable.

  Des tableaux étendus de valeurs numériques et quelques tracés, telle la miniature ci-contre, illustrent l'ensemble

 


Propagation d'erreur

  Si Y est fonction de plusieurs variables aléatoires indépendantes Xi xi, l'erreur globale (y) se calcule à partir des dérivées partielles de la fonction.
  Cette méthode académique est souvent difficile à appliquer. Lorsque ce calcul d'erreur devient inextricable un procédé bien plus simple, utilisant les différences finies, conduit au même résultat.
  Trois exemples seront détaillés : la droite de régression, l'inversion de matrice et quelques applications aux fonctions financières.

 


Racines réelles et complexes d'un polynôme

  La méthode de Newton permet d'approcher les zéros d'une fonction. Pour une variable réelle, chaque zéro est affiné à partir d’une approximation initiale, depuis laquelle on calcule la tangente de la courbe représentative : son point d'intersection avec l'axe des x constituera une meilleure évaluation.
  L'itération de Xn+1=Xn-F(x)/F'(x) conduit vers la solution.
  La méthode est aussi applicable à la variable complexe sous réserve que l’approximation initiale soit complexe.
  La description de l'algorithme, est accompagnée d'un programme et d'un exécutable.

 


Régression polynomiale( droite des moindres carrés,...)

  Etant donné un ensemble de valeurs numériques, un lissage selon le critère des moindres carrés consiste à déterminer les coefficients d'un polynôme de degré inférieur au nombre de points, tel que la somme des carrés des écarts entre chacun des points et la courbe soit minimum.
  Au premier degré on définira la droite de régression ou droite des moindres carrés, mais le logiciel proposé  peut aussi ajuster des courbes de degrés supérieurs.
  La méthode de Savitzky et Golay est aussi abordée, en plus du lissage elle délivre les valeurs des dérivées successives.

 


Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

  La diffusion de la chaleur dans les solides homogènes et isotropes est régie par une équation aux dérivées partielles

  Seuls les cas les plus simples se résolvent analytiquement. Lorsque les conditions aux limites se compliquent, le recours aux méthodes numériques devient indispensable.
  Ci-contre, simulation d'un milieu semi-infini soumis à une variation sinusoïdale de la température de surface, en régime d'équilibre. En profondeur, la température reste pratiquement constante.

 


0                           x -->


Simulation numérique de la fusion de zone

  La fusion de zone est une méthode de purification des métaux mais aussi des matériaux stables à leur température de fusion. En la déplaçant lentement le long d'un lingots longiforme, une étroite zone fondue entraîne avec elle la plupart des impureté.
  En renouvelant l'opération autant de fois que nécessaire le niveau de purification atteint une limite généralement inaccessible par d'autre méthodes.
  Seul le premier profil de concentration est facilement accessible analytiquement, c'est la raison de cette simulation numérique.


Simulation numérique de la propagation des ondes

  Ondes aquatiques, acoustiques, électriques, électromagnétiques ... , en milieu non dispersif, toutes sont régies par la même équation aux dérivées partielles :

  L'animation ci-contre présente 3 des modes d'oscillation d'une corde tendue, solutions calculées par un programme travaillant avec les différences finies.

 


Interpolation de la suite de Fibonacci

 Chacun connaît la suite de Fibonacci {1,1,2,3,5,8,13,...} dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Son historique et ses propriétés sont largement décrites sur le Web.
 Comme toutes les suites récurrentes elle concerne les nombres entiers, mais comment interpoler la "fonction" entre deux termes?
 Dans le plan complexe bien sûr !

 


Suites récurrentes du second ordre

  La suite de Fibonacci, U={0,1,1,2,3,5,...}, et la suite de Lucas, V= {2,1,3,4,7,...}, sont fréquemment décrites, ainsi que les relations qui relient leurs termes, par exemple :

Vn2 - 5 Un2 = 4 (-1)n

 Ces deux suites sont des cas particuliers parmi les suites du second ordre, pour lesquelles existent des relations plus générales quand a , b , u1 et u2 différent de1.

 


La Radioactivité de la Matière ... en 1914

 Quel est le scientifique du 20ème siècle le plus célèbre ? Albert Einstein, certainement.
 Mais la scientifique la plus prestigieuse ? Marie Curie, sans conteste.

 Dans un article de vulgarisation, paru dans  "La Science et la Vie" en Février 1914, Jean Becquerel retrace l'histoire des premières années de la radioactivité :
- la découverte de la radioactivité par son père, Henry Becquerel
- la découverte du Radium et du Polonium par Pierre et Marie Curie
- les premiers instruments de mesure
- les étapes théoriques
- les débuts de l'industrialisation  ...

 


Ascension du Pilier Ouest du MAKALU

  Ces quelques pages, extraites d'un numéro spéciale de "La Montagne ", rappellent un exploit réalisé en 1971.
  Certains y retrouveront des proches ou des amis disparus, d'autres découvriront des hommes animés d'une passion dévorante, mais chacun ressentira une intense émotion. 

 


Les Pages Jeunes ... de 9 à 99 ans

Les Tours de Hanoi

  Dans un monastère lointain 3 aiguilles supportent 64 disques d'or de diamètres croissants(10 sur la figure). Les moines s'y emploient à les déplacer selon un rituel précis :
- ils les déplacent un à un et ne peuvent les poser que sur l'une des 3 aiguilles
- ils ne posent jamais un disque sur un disque de diamètre inférieur

 Quel sera le temps nécessaire au transfert de la colonne complète sachant qu'ils déplacent un disque par seconde ?

 


Triple saut

 Peut-être une nouvelle façon d'utiliser le Taquin, en passant d'une disposition à une autre par deux types de déplacement :
- soit le mouvement classique par glissement horizontal ou vertical
- soit le déplacement du cavalier des échecs : 2 sauts dans une direction plus 1 saut dans l'autre.
 Cette variante transforme le Taquin en jeu de réflexion particulièrement ardu.
 Ci-contre, le début de la première partie du jeu téléchargeable. Intéressant ?

 


Rubik's cube

  Encore une méthode de résolution du Rubik's Cube ?

  Oui, mais celle-ci est suffisamment détaillée et illustrée pour la rendre accessible aux plus jeunes.

 


Albums Photos

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Galerie Paul Gache

Annecy et son lac

Le Briançonnais
et ses  environs

Flore alpine