Régression multiple du 10ème degré

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Régression selon le critère des moindres carrés

10 Régression d'une fonction

1 Combinaison linéaire de fonctions

2 Application au lissage polynomial

3 Droite des moindres carrés

4 Parabole des moindres carrés

5 Polynôme du troisième degré

6 Lissage Savitzky et Golay

7 Régression multiple

8 Régression plane

9 Régression multiple du 10ème degré

 

10 Régression d'une fonction

 


  Les pages précédentes traitaient de la régression des polynômes ou des fonctions assimilables à un polynôme sur le domaine exploré. Cette page étend le critère des moindres carrés aux fonctions pour lesquelles la régression polynomiale est inapplicable.


  Soit une fonction : 

représentative d'une théorie vérifiée expérimentalement sur quelques points avec une dispersion inhérente à toute mesure. Comment calculer la constante " a " selon le critère des moindres carrés, si f(x) n'est pas assimilable à un polynôme sur l'étendue des mesures alors que seules les mesures sur y sont entachées d'erreurs statistiques ?.

  La surface du carré construit sur le point xiyi vaudra :

et donc leur somme sur n points :

ou

  S sera à son minimum quand dS/da sera nul

d'où :

Applications

1 - La droite des moindres carrés passant impérativement par l'origine , y = ax , en est l'application la plus élémentaire. Dans ce cas la pente sera donnée par :

qui, par exemple, serait utilisé lors du contrôle de linéarité d'une balance avec une série de poids de masses certifiées.

2 - En raison de sa discontinuité, la régression polynomiale est manifestement inapplicable à la fonction homographique :

  Si les mesures de y sont affectées d'erreurs stochastiques, la valeur la plus probable de la constante sera donnée par :

  Ainsi, malgré la discontinuité, les deux branches de l'hyperbole participent simultanément à l'évaluation de la constante.

3 -  Pour une loi évoluant en fonction de la racine d'une variable x :

les erreurs statistiques portant seulement sur les mesures de y, le calcul de la constante devient :

  Ici aussi, le calcul porte sur les deux branches de la parabole, ce qui aurait exigé l' inversion des rôles de x et de y en régression polynomiale.


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