Lissage Savitzky et Golay

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Régression plane

Régression selon le critère des moindres carrés

7 Régression multiple

1 Combinaison linéaire de fonctions

2 Application au lissage polynomial

3 Droite des moindres carrés

4 Parabole des moindres carrés

5 Polynôme du troisième degré

6 Lissage Savitzky et Golay

7 Régression multiple

8 Régression plane

9 Régression multiple du 10ème degré

 

10 Régression d'une fonction

 


Dans les page précédentes le lissage portait exclusivement sur des fonctions d'une seule variable, représentables sur plans. Abordons maintenant la régression multiple, applicable aux fonctions de deux variables, décrites par une surface dans un espace à trois dimensions.


  Soit une série de m points de coordonnées (x1,y1,z1), (x2,y2, z2),… (xk,yk,zk)… (xm,ym,zm), à représenter au mieux par une fonction F(x,y), décomposable en une somme de n fonctions arbitrairement choisies:

ces n+1 coefficients aj seront ajustés pour minimiser la somme E des carrés des écarts entre la surface représentative et les m points

  Pour minimiser cette somme il suffira d'annuler chacune des n+1 dérivées par rapport aux coefficients aj

c'est à dire, pour les n+1 valeurs de i

  Les m coefficients aj seront obtenus en résolvant le système:

soit, en notation matricielle

C . A = B

où :

  C est la matrice carrée formée des coefficients fi(xk, yk), fj(xk , yk)
  A la matrice colonne des m coefficients recherchés aj
  B la matrice colonne des membres de droite, produit des deux précédentes.

   Les m coefficients aj seront explicités en multipliant l'inverse de la matrice C par B


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