Application au lissage polynomial

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Parabole des moindres carrés

Régression selon le critère des moindres carrés

3 Droite des moindres carrés

1 Combinaison linéaire de fonctions

2 Application au lissage polynomial

3 Droite des moindres carrés

4 Parabole des moindres carrés

5 Polynôme du troisième degré

6 Lissage Savitzky et Golay

7 Régression multiple

8 Régression plane

9 Régression multiple du 10ème degré

 

10 Régression d'une fonction

 


  Pour déterminer la droite de régression le système d'équations se réduit à :

  En utilisant les valeurs moyennes on retrouve la très classique formule de la droite des moindres carrés :

Remarques

  1 - Le procédé est utilisable quelque soit la dispersion des points, aussi est-il prudent d'estimer rigoureusement les erreurs sur la page consacrée au calcul d'erreur , les coefficients de la droite y sont écrits en majuscules et les erreurs en minuscules :

   2 - Dans le cas d'une répartition symétrique des abscisses, x moyen est nul et l'expression des coefficients se réduit à :


Sous programme Visual Basic

Sub DROITE_M_C(Nbr_Pt As Integer, X() As Double, Y() As Double, A() As Double)
'Calcul de la droite de régression
SX = 0
SX2 = 0
SY = 0
SXY = 0
For I = 1 To Nbr_Pt
     SX = SX + X(I)
     SX2 = SX2 + X(I) ^ 2
     SY = SY + Y(I)
     SXY = SXY + X(I) * Y(I)
Next I
XM = SX / Nbr_Pt
YM = SY / Nbr_Pt
A(1) = (SXY - XM * SY) / (SX2 - XM * SX)
A(0) = YM - A(1) * XM
End Sub


Régression et orthodromie

  Et s’il s’agit de définir la droite de régression sur plusieurs points situés sur notre Terre ?
  Si la surface considérée reste assimilable à un plan les erreurs systématiques induites par la rotondité terrestre resteront négligeables.
  A grande échelle, dans l’approximation d’une Terre sphérique, il conviendra d'abandonner la droite de régression au bénéfice de « l’arc de grand cercle des moindres carrés ».   

  L'adoption de la projection gnomonique facilitera le traitement du problème. En effet, sur les cartes classiques, le plus court chemin entre deux points du globe, l’orthodromie, est une ligne courbe. En projection gnomique l'orthodromie sera rectiligne.
  Chaque point du globe est projeté sur un plan perpendiculaire à l’axe Nord–Sud ( tout autre plan ), selon la demi-droite issue de C, le centre du Globe..
  Dans ce mode de représentation, tout arc de grand cercle sera projeté sous forme du segment de droite. En revanche les proportions seront d’autant plus affectées que la région observée s’éloignera du pôle puisque l’équateur est reporté à l’infini.

  On obtiendra l’orthodromie des moindres carrés en appliquant la méthode classique aux points ainsi projetés.

Projection gnomonique d’une moitié de l’hémisphère Nord, située au dessus du 45 ème parallèle

  Les positions sur une cartes sont exprimées en degrés de longitudes et de latitude, suivis de subdivisions sexagésimales. Il sera naturellement indispensable d’adopter un subdivision décimale des degrés.

  En projetant les points impliqués sur le plan gnomonique, leurs coordonnées sphériques se trouveront converties en coordonnées circulaires. La droite de régression sera calculée en utilisant des coordonnées cartésiennes (quadrillage vert). L’orthodromie la plus probable (en rouge sur la figure) s’obtiendra en minimisant la somme des carrés des segments verticaux (noirs sur la figure) par application de la méthode classique de régression linéaire.
  Sachant que la projection gnomonique interdit de comparer directement les distances, les écarts à l’orthodromie seront calculés sur les arcs de grands cercles figurés par les segments bleus joignant les points à la droite orthodromique.

  Chacun des points constitue une des deux extrémités d’un de ces arcs, l’autre correspond à l’intersection du méridien d’un point avec l’orthodromie. Ses coordonnées cartésiennes seront facilement déduites des équations de ces deux droites pour accéder finalement à sa distance du pôle.

 

  La distance séparant un point de l'orthodromie sera déterminée en raisonnant sur le plan vertical passant par l’axe terrestre et le méridien du point considéré.
  Le retour aux coordonnées sphériques, permettra de calculer la longueur de l’arc séparant chaque point de l'orthodromie de régression..

  Avant de mettre en oeuvre, consulter : http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html . Y figurent les relations trigonométriques permettant de passer d'un mode de présentation à l'autre.

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