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Application au lissage polynomial

Régression selon le critère des moindres carrés

1 Combinaison linéaire de fonctions données

1 Combinaison linéaire de fonctions

2 Application au lissage polynomial

3 Droite des moindres carrés

4 Parabole des moindres carrés

5 Polynôme du troisième degré

6 Lissage Savitzky et Golay

7 Régression multiple

8 Régression plane

9 Régression multiple du 10ème degré

 

10 Régression d'une fonction

 


  On se propose de représenter un ensemble de points expérimentaux par une somme de fonctions de telle façon que l'écart quadratique moyen entre cette somme et les différents points soit minimum.


  Soit une série de m points de coordonnées (x1,y1), (x2,y2), … (xk,yk),  … (xm,ym), à représenter au mieux par une fonction F(x), décomposable en une somme de n fonctions arbitrairement choisies:

ces n+1 coefficients aj seront ajustés pour minimiser la somme E des carrés des écarts entre la courbe représentative et les m points

  Cette somme sera à son minimum lorsque chacune des n+1 dérivées par rapport aux coefficients aj sera nulle

c'est à dire, pour les n+1 valeurs de i

  Les n coefficients aj seront obtenus en résolvant le système:

soit, en notation matricielle

C . A = B

où :

  C est la matrice carrée formée des coefficients fi(xk), fj(xk)
  A la matrice colonne des m coefficients recherchés aj
  B la matrice colonne des membres de droite, produit des deux précédentes.

   Les m coefficients aj seront explicités en multipliant l'inverse de la matrice C par B


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