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Racines réelles et complexes d'un polynôme

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  Rien d'original, mais l'exécutable téléchargeable racines.exe évalue les racines réelles et complexes des équations jusqu'au 100 ème degré.

 Et si vous le souhaitez, je vous expédierai la source par courriel, il suffit de demander. 


1.1 La méthode

  Une équation de degré n :

admet n solutions réelles ou complexes, simples ou multiples.

  L’existence de racines complexes impose d’utiliser la variable complexe.
  La détermination des n racines revient à rechercher les n zéros de la fonction complexe :

où les coefficients a1,a2 … an-1 sont tous réels.

  Soit, z1, z2, z3 … zn les n racines recherchées :

si zk est complexe nous aurons nécessairement les 2 solutions conjuguées:

afin que le produit :

soit réel.

  Ainsi un polynôme admettant, entre autres, les deux racines conjuguées:

 

s’écrit :

  Dans le cas le plus général une équation de degré  s+2t  ayant s racines réelles et  2t  racines complexes s’écriera :

où  ki  et   kj  sont respectivement les ordres de multiplicité de la  ième  racine réelle  zi  et de la jème  paire de racines complexes conjuguées :  xj+iyj  et  xj-iyj .

  L'algorithme Newton-Raphson permet de déterminer les zéros de la fonction et donc les racines du polynôme. Pour une variable réelle, un des zéros de la fonction F(x) est affiné à partir d’une approximation initiale, au niveau de laquelle on calcule la tangente à courbe représentative : le point de croisement de cette tangente avec l’abscisse constitue une meilleure évaluation de la racine.

  Des évaluations successives seront obtenues par itération de :

   La précision désirée sera atteinte en augmentant le nombre des itérations .

   La méthode est aussi applicable à la variable complexe avec :

sous réserve que l’approximation initiale soit complexe : après que toutes les racines réelles aient été déterminées avec des approximations initiales réelles, les racines complexes seront recherchées avec des approximations initiales complexes.

  Après qu’une première racine z1 ait été déterminée, pour éviter que le procédé revienne sur cette valeur, le degré du polynôme est abaissé en le divisant par (z- z1): les racines du quotient sont les racines restant à découvrir.


1.2 Cas d’une racine réelle

  Ce nouveau polynôme correspondant à :

avec

on obtient :

et en identifiant avec les termes de même puissance du polynôme initial :

il en résulte :

( s’agissant, pour l’instant, d’une racine réelle on a : z = x )


1.3 Cas d’une paire de racines complexes conjuguées

  Le quotient sera établi à partir des deux racines z1 et z1*, l’abaissement portera donc sur deux degrés :

   En identifiant comme précédemment :

on obtient :

  On saura ainsi exprimer le nouveau polynôme, abaissé de un ou deux degré selon que la racine extraite était réelle ou complexe, pour en extraire une nouvelle racine.

  Le procédé est généralement très performant, sauf pour les racines multiples. Pour simplifier considérons le cas d'une racine multiple réelle, F(x) est alors tangent à l'abscisse au niveau de la racine il est évidemment plus facile de déterminer précisément un point de croisement qu'un point de tangence.

  Une autre limitation est liée à la double précision : dans le polynôme, le rapport entre le coefficient le plus et le plus petit ne peut excéder 1015. Les démonstrations 17 et 18 du programme téléchargeable le montrent clairement


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