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Application à la droite de régression

Propagation d'erreur sur une fonction de plusieurs variables

1 Algorithmes

1 Algorithmes

2 Application à la droite de régression

3 Application à l'inversion de matrice

4 Application aux fonctions financières


  Une valeur expérimentale résulte rarement d’une seule mesure, elle nécessite le plus souvent la détermination de divers paramètres dont la plupart sont entachés erreurs influant sur le résultat final : seule l’application des règles de propagation des erreurs permet l’évaluation rigoureuse de cette erreur globale.

  La première partie de cette page présente les règles de la propagation d’erreur sous leur formes classiques, elles permettrons de répondre à la plupart des situations courantes, mais il est des cas où leur application devient inextricable (résolution d’un système d’équations), voire impossible (racines d'une équation du cinquième degré).

  La seconde partie présente une méthode alternative employant les différence finies, toujours applicable et aussi rigoureuse. 


1.1 Algorithme aux dérivées partielles

  Soit Y une fonction de n variables aléatoires Xi entachées d'erreurs statistiques définies par leur écart type xi :

  Si les erreurs sur les différentes variables sont indépendantes les unes des autres, l’écart type y, sur la fonction Y, se calculera selon la loi de propagation des erreurs :

ou

 

Applications de l'algorithme classique aux opérations élémentaires

  D'où : 

- pour les quatre opérations :

- pour l'inverse, la racine carrée et la puissance n :

- pour la moyenne de n résultats Ai affectés d'erreurs ai :

en tenant éventuellement compte du poids de chaque mesure s'il s'agit de moyennes pondérées, par exemple celles qui interviennent dans le lissage selon Savitzky-Golay

  Lorsque le traitement mathématique des données expérimentales se complique, le traitement analytique de la propagation des erreurs devient inapplicable, d'où l'intérêt d'un algorithme indépendant des opérations réalisées sur les variables.


2.2 Algorithme aux différences finies

  Dans cette méthode ( inédite ?) les dérivées partielles sont remplacées par les différences finies :
en ajoutant un Xi petit mais fini à Xi , la fonction Y sera modifiée d'une quantité Yi.
  En admettant que :

et en opérant successivement de tels ajouts temporaires sur les n variables Xi , l'erreur y sur la fonction Y sera :

  En adoptant des accroissements finis proportionnels aux  xi :       k Xi= xi

l’erreur sur la fonction sera la racine carrée de la somme des carrés des n variations observées sur Y, après avoir augmenté successivement et provisoirement chacune des variables  Xde la quantité   xi / k :

et cela  indépendamment des relations liant Y aux différentes variables aléatoires, sous réserve que toutes ces variables soient indépendantes les unes des autres..

  Pratiquement, en adoptant k=1, et après avoir calculé Y à partir des valeurs nominales des différentes variables, le calcul est repris en remplaçant provisoirement  X1  par  X1+x1 : Y prend une nouvelle valeur Y1. Le carré de son écart à la valeur initiale : (Y-Y1)2.est enregistré
  Après avoir rendu à X1 sa valeur initiale, X2 est  remplacé par X2 +  x2 afin d'aboutir à (Y-Y2)2, enregistré à son tour..
  Et ainsi jusqu'au dernier point.
  L'erreur y sur la fonction Y sera très simplement la racine carrée de la somme de ces n carrés enregistrés.


Application pratique de l'algorithme aux différences finies

  Vous disposez déjà d'un programme de traitement de vos données, parmi lesquelles n variables aléatoires  X1, X2, X2 ... Xn , d'écarts types x1, x2, x2 ... xn connus, conduisant au résultat Y :

X1  
X2
X3
...
Xn

 ==> 

PROGRAMME

 ==> 

 Y 

  Pour accéder à l'erreur propagée sur Y vous exécuterez n fois ce programme :
- une première fois en ajoutant son écart type seulement au premier de ces n variables, le résultat sera légèrement altéré, vous retiendrez   D1  ,  carré de la différence (Y -Y1 ) .

X1 + x1
X2
X3
...
Xn

 ==> 

PROGRAMME

 ==> 

 Y

 ==> 

 D1= (Y -Y1 )2

- une seconde fois en modifiant la seconde variable, pour calculer D2 

X1
X2 + x2
X3
...
Xn

 ==> 

PROGRAMME

 ==> 

 Y

 ==> 

 D2= (Y -Y2 )2

- ainsi de suite jusqu'à la dernière variable Xn

X1
X2
X3
...
Xn + xn

 ==> 

PROGRAMME

 ==> 

 Y

 ==> 

 Dn= (Y -Yn )2

  L'écart type sur le résultat   Y  sera la racine carrée de la somme des carrés D1 + D2+ ... Dn

Ecart type sur Y  =   Racine( D1 + D2+ ... Dn)


Un exemple élémentaire :

  Calculer l'erreur sur la surface d'un rectangle  mesurant  3+/-0.03 m de largeur et 5 +/- 0.04 m de longueur.
  En appliquant ce schéma :

3 + 0.03
5

 ==> 

5 ( 3 + 0.03)

 ==> 

 15.15 

 ==> 

 0.15²= 0.0225

 

3
5 + 0.04

 ==> 

3 ( 5 + 0.04)

 ==> 

 15.12 

 ==> 

 0.12²= 0.0144

Ecart type sur la surface =  Racine ( 0.0225 + 0.0144 ) =  0.192

  L'algorithme classique conduit évidement au même résultat.

  Le procédé proposé est non seulement plus simple dans sa forme mais il s'applique directement à toutes les opérations sur les données expérimentales, même celles pour lesquelles un calcul d'erreur classique est difficilement envisageable ou impossible. C'est là l'objet des pages suivantes.


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