Propagation bidimensionnelle

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Simulation numérique de la propagation des ondes

4 - Propagation tridimensionnelle

1 Propagation unidimensionnelle

2 Equation des télégraphistes

3 Propagation bidimensionnelle

4 Propagation tridimensionnelle


  La propagation d'une onde dans un volume, le son dans l'air par exemple, obéit à une équation aux dérivées partielles comportant trois variables d'espace :

(4.1)

ou, en coordonnées cylindriques :

(4.2)

  Le milieux est supposé isotrope et non dispersif, la vitesse de propagation des ondes sera donc indépendante de la fréquence.


4.1 En coordonnées rectangulaires

  Le terme supplémentaire compliquera légèrement le traitement par les différences finies.

  Un développement en série de Taylor au point x,y,z permet d'exprimer les amplitudes aux temps t+k et t-k  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en ce point.

donnant par addition :

  D'où une approximation valable pour les petites valeurs de k :

(4.3)

  De même, au temps t, un nouveau développement en série de Taylor exprime les amplitudes zt,x+h,y,z et zt,x-h,y,z en fonction de l'amplitude et de ses dérivées par rapport à x en  x,y,z :

d'où :

qui conduit à une approximation applicable aux petites valeurs de h :

(4.4)

  En adoptant le même pas pour les trois variables d'espace, les dérivées secondes par rapport à y et z  s'exprimeront par :

(4.5)

et

(4.6)

  En remplaçant les éléments différentiels de (4.1) par leurs approximations dans (4.4) , (4.5) et (4.6) :

(4.7)

  Et, en adoptant des accroissements finis tels que   h = v k  , il résulte :

(4.8)

  A chaque étape, l'amplitude au temps  t + k  de la cellule de coordonnées x,y,z  sera la somme de ces 8 amplitudes..

  Une application bidimensionnelle exige déjà des calculs de longues durées, la simulation numérique tridimensionnelle serait inaccessible aux micro-ordinateurs sans le recours au traitement en coordonnées cylindriques, mais en limitant les applications aux structures 3D résultant d'une révolution autour de l'axe z.


4.2 En coordonnées cylindriques

  Si la structure présente un axe de symétrie, la dérivée seconde par rapport à j sera  nulle en tous points et (4.2) se réduit à :

(4.7)

  Les dérivées par rapport à r conduisent à : 

et

d'où, avec  (4.3) et (4.6)

 

  En prenant non seulement   h = v k  mais aussi r = v k il vient :

  Si j = 0 , x et r sont équivalents et au temps t+k l'amplitude dans la cellule x,z sera donnée par :

(4.2)


4.3 Programmation

  U est une variable double précision, tridimensionnée : U(3, -2 To 1002, -2 To 1002) 
  Si la cellule correspond à un obstacle, au quel cas Air(I, J) = 0 , sinon Air(I, J) = 1

For K = 1 To Nbr_Cycle
 ' Alternance du rôle des lignes
 a = K Mod 3
 b = (K + 1) Mod 3
 c = (K + 2) Mod 3
 'Source sonore
 U(a, 0, 0) = Amplitude * Cos((K - 1) / Lg_Ond)
 'Application de l'équation des ondes
 For I = 0 To Limit   ' Ro
  For J = 0 To Limit '  Z
   If Air(I, J) = 1 And I <> 0 And (I > 1 Or J > 1) Then
    U(c, I, J) = U(b, I + 1, J) * (1 + 1 / (2 * I)) + U(b, I - 1, J) * (1 - 1 / (2 * I)) + U(b, I, J + 1) + U(b, I, J - 1) - 2 * U(b, I, J) - U(a, I, J)
   End If
  Next J
 Next I
 LISSAGE   ' Vers S.P. de lissage Savitzky-Golay
 AFFICHAGE K
Next K


4.4 Applications aux ondes sonores

Milieu infini

  Une source sonore est placée à l'origine des coordonnées cylindriques.

  Le calcul de l'évolution de l'amplitude de l'onde dans le plan x z se ramène ainsi à un traitement bidimensionnelle.

  Pour économiser encore sur le temps de calcul seul un quart du plan est simulé 

  L'animation ci-contre matérialise l'onde progressive de pression d'air.

Z  

 

 

 

 

O

X      

  Sa progression le long de l'axe O x figure sur le graphique ci-dessous, entre deux enveloppes rouges. L'intensité sonore, déduite des enveloppes, exprimée en décibels, est représentée en vert.( 1dB par petit carreau )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x

  Il est facile de vérifier :
- que la pression acoustique diminue en raison inverse de la distance à la source 
- que l'intensité sonore diminue de 6 décibels quand la distance à la source est doublée.

  En portant, ci-contre :
- le logarithme des amplitudes en fonction du logarithme de la distance (rouge )
- l'affaiblissement en dB en fonction du logarithme de la distance (vert),
on obtient effectivement des droites de pentes -1 et -2.

 Ces résultats attestent la validité du procédé de simulation malgré les approximations consenties pour sa réalisation.


Test d'efficacité d'un mur anti-bruit

  En plaçant un mur circulaire à proximité de la source, matérialisé par le rectangle orangé, il se forme un réseau d'interférences entre l'onde émise et l'onde réfléchie. Il se révèle sur l'image des pressions et sur la partie gauche des courbes ci dessous.

  Au delà du mur, l'amplitude de l'onde et le niveau sonore exprimé en décibels remontent rapidement dès que l'on s'éloigne du pied du mur. Dans cet exemple, l'atténuation à distance se limite à 4 ou 5 dB , quelque soit l'éloignement .


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x

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