Equation des télégraphistes

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Inversion de phase au foyer optique

Simulation numérique de la propagation des ondes

3 - Propagation bidimensionnelle

1 Propagation unidimensionnelle

2 Equation des télégraphistes

3 Propagation bidimensionnelle

4 Inversion de phase au foyer optique

5 Effet tunnel optique

6 Propagation tridimensionnelle


  La propagation d'une onde sur une surface liquide, obéit à une équation aux dérivées partielles comportant deux variables d'espace :

(3.1)

  Ici aussi, ce seront les conditions aux limites et les conditions initiales qui distingueront les solutions particulières.

  Comme en propagation unidimensionnelle, v est supposé indépendant de la fréquence


3.1 Equation aux différences finies en coordonnées rectangulaires

  Le terme supplémentaire introduit par cette deuxième dimension compliquera le traitement par les différences finies.

  Un développement en série de Taylor au point x,y permet d'exprimer les amplitudes aux temps t+k et t-k  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en ce point.

donnant par addition :

  D'où une approximation valable pour les petites valeurs de k :

(3.2)

  De même, au temps t, un nouveau développement en série de Taylor exprime les amplitudes ut,x+h,y et ut,x-h,y en fonction de l'amplitude et de ses dérivées par rapport à x en x,y :

d'où :

et pour les petites valeurs de h :

(3.3)

  En adoptant un pas identique pour les deux variables d'espace, la dérivées seconde par rapport à y s'exprimera par :

(3.4)

  En remplaçant les éléments différentiels de (3.1) par leurs approximations dans (3.2) , (3.3) et (3.4) :

  Et en adoptant des accroissements finis tels que   h²/k² = 1 :

(3.5)

  Quand v² est supérieur à 0,5 de petites instabilités apparaissent puis s'amplifient rapidement jusqu'à provoquer l'arrêt du programme. Pour l'éviter, après chaque cycle de simulation un lissage Savitzky-Golay estompera les imperfections avant qu'elles ne s'amplifient.
  Pour les simulations opérant en milieu homogène, où la vitesse reste constante, il sera avantageux de prendre v² = 1/2 et d'exploiter ainsi une forme simplifiée de (3.5) , ne provoquant aucune instabilité, dispensant donc des lissages :

où v² = 1/2

(3.6)

  Comme en unidimensionnel, les conditions initiales seront impérativement définies aux temps t0 et tk


3.2 Applications

3.2.1 Vague circulaire

  Pour commencer, une application simple démontrant la fiabilité de l'algorithme : soit un bassin rectangulaire dans lequel se propage un train d'onde circulaire.

Conditions initiales

   Le laplacien de l'équation différentielle de la chaleur étant lié à la dérivée première de la température par rapport au temps, la répartition des températures dans une étape de simulation est seulement fonction des températures de l'étape précédente : une seule définition des conditions initiales est suffisante.
  Avec l'équation des ondes c'est la dérivée seconde par rapport au temps qui est impliquée, l'amplitudes d'une étape est fonction de ses valeurs deux étapes précédentes : deux définitions des conditions initiales correspondant aux deux premières étapes sont donc indispensables, en décrivant l'amplitude de chaque cellule du bassin aux temps 0 et  k , laps de temps durant lequel l'onde aura parcouru une longueur h.

 

Simulation

  Opérant en deux dimensions, la partie essentielle du programme comporte une boucle supplémentaire :

  Les conditions initiales correspondent à la premières image de cette animation. 

La surface du bassin figure dans la partie supérieure, les hauteurs d'eau y sont représentées par les différentes nuances de bleu :
- le fond, bleu clair, correspond au niveau moyen, celui du bassin en eau calme
- les bleus les plus foncés représentent le sommet des vagues
- les bleus plus clairs forment leurs creux.

 

  Le graphique présente le profil relevé sur un diamètre :
- l'écartement des lignes verticales du quadrillage est ajusté sur la longueur d'ondes, les tirets marquent les demies longueur d'onde
- à chaque cycle le profil d'amplitude (courbe bleue ) est relevé sur un diamètre.

  L'amplitude de l'onde s'atténue progressivement, elle se réfléchit en atteignant les bords du bassin, simulation conforme à la réalité.

   

  Le sens de propagation sera inversé en prenant h négatif dans la ligne définissant  U(2, I, J) , l'onde circulaire centrifuge devient centripète.

 L'onde commence par converger en s'amplifiant.

  Passés les remous centraux elle poursuit sa progression en divergeant, mais avec un profil profondément modifié : l'alternance centrale initialement dirigée vers la haut pointe alors vers le bas.

  L'exécution du programme de simulation s'arrête quand l'onde circulaire a repris son diamètre initial.

  La pose, respectée sur la dernière vue, permet de constater que ce retournement s'est réalisé sur l'ensemble de l'onde.

  Une autre version du même programme délivre des vues deux fois plus grandes.

  Les points bleu foncé correspondant à l'inversion théorique se superposent parfaitement au profil calculé : effectivement le passage de l'onde circulaire convergente par son centre provoque une inversion de phase.

  Phénomène semblable à l'inversion de phase d'une onde lumineuse après son passage par un foyer optique. Elle est simulée numériquement dans la page suivante.


3.2.2 Optique

  Réfraction

  La simulation ci-contre montre la réfraction d'une impulsion lumineuse abordant, sous incidence oblique, un dioptre plan d'indice 1,3

  L'onde se partage entre une partie réfléchie dirigée vers le bas et une partie réfractée déviée vers le haut selon la classique relation :

  La polarisation des ondes lumineuses n'étant pas prise en compte dans l'algorithme de propagation des ondes, il ne peut simuler la biréfringence de la calcite. En revanche il révèle l'onde évanescente formée lors de la  réflexion totale. Les simulations numériques de la cinquième page montrent que l'amplitude de l'onde évanescente simulée décroît exponentiellement comme le prévoit la théorie.

 Focalisation

   Une sphère en verre, boule de cristal des voyantes ou bouchon de carafe, se comporte comme une lentille médiocre mais présente l'avantage de faciliter la programmation du dispositif optique simulé.

  Une simulation 2D montre qualitativement la façon dont la lumière s'y focalise.

  Malgré un traitement antireflet consistant en une variation progressive de l'indice de réfraction en surface, il subsiste malgré tout quelques interférences parasites.

  L'écart source-centre optique choisi assure la formation d'un front d'onde pratiquement rectiligne dans le verre qui se traduit par une propagation sans atténuation comme le montre le profil des amplitudes ci-contre.

Cet " objectif " très rudimentaire, ne peut révéler l'inversion de phase qui se manifeste au foyer.

  Toutes ces animations se développent dans des cadres différents, mais toutes opèrent avec le même algorithme d'adaptation au numérique de l'équation de propagation des ondes. Il ne s'agit pas de dessins animés assistés par ordinateur, les conditions aux limites et les conditions initiales étant définies, inversion de phase et effet tunnel optique se réalisent spontanément.


4.3 Equation aux différences finies en coordonnées polaires

  En coordonnées polaires l'équation différentielle (3.1) s'exprime en fonction du rayon :

  Dans ce cas les deux nouvelles approximations issues des développements en série deviennent :

où r est le pas sur le rayon.

  L'approximation de la dérivée seconde par rapport au temps  prenant la forme :

d'où

et avec  r = v k

Application

  En coordonnées polaires il  devient possible de simuler la propagation d'une onde circulaire en travaillant seulement sur un rayon

  La figure ci-contre en représente 8 étapes successives de la propagation d'une onde circulaire, ainsi simulées..

  L'amplitude décroît effectivement en raison inverse de la racine de son rayon ( courbe rouge y = A / R1/2 )

0

R  


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