Equation des télégraphistes

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Propagation tridimensionnelle

Simulation numérique de la propagation des ondes

3 - Propagation bidimensionnelle

1 Propagation unidimensionnelle

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3 Propagation bidimensionnelle

4 Propagation tridimensionnelle


  La propagation d'une onde ou d'une impulsion sur une surface liquide, obéit à une équation aux dérivées partielles comportant deux variables d'espace :

(3.1)

  Ici aussi, ce seront les conditions aux limites et les conditions initiales qui distingueront les solutions particulières.

  Comme en propagation unidimensionnelle, v est supposé indépendant de la fréquence


3.1 Equation aux différences finies en coordonnées rectangulaires

  Le terme supplémentaire compliquera le traitement par les différences finies.

  Un développement en série de Taylor au point x,y permet d'exprimer les amplitudes aux temps t+k et t-k  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en ce point.

donnant par adition

  D'où une approximation valable pour les petites valeurs de k :

(3.2)

  De même, au temps t, un nouveau développement en série de Taylor exprime les amplitudes ut,x+h,y et ut,x-h,y en fonction de l'amplitude et de ses dérivées par rapport à x en x,y :

d'où :

et pour les petites valeurs de h :

(3.3)

  En adoptant un pas identique pour les deux variables d'espace, la dérivées seconde par rapport à y s'exprimera par :

(3.4)

  En remplaçant les éléments différentiels de (3.1) par leurs approximations dans (3.2) , (3.3) et (3.4) :

  En adoptant des accroissements finis tels que   H = v²k²/h²  , il résulte :

(3.5)

  Quand H est supérieur à 0,5 de petites instabilités apparaissent puis s'amplifient rapidement jusqu'à provoquer l'arrêt du programme. Pour l'éviter, après chaque cycle de simulation, c'est à dire pour chaque valeur de k , un lissage Savitzky-Golay estompe les imperfections avant qu'elles ne s'amplifient mais en ralentissant le calcul.
  Ces instabilités apparaissant seulement pour H > 0.5 une autre solution consiste donc à ne jamais dépasser ce seuil.
  Adopter H = 0.5 ou inférieur simplifiera donc la programmation.


3.2 Application

3.2.1 Vague circulaire

  Pour commencer, une application simple démontrant la fiabilité de l'algorithme : soit un bassin dans lequel se propage un train d'onde circulaire 

Conditions initiales

  Dans l'équation différentielle de la chaleur le laplacien étant lié à la dérivée première de la température par rapport au temps, la répartition des températures dans une étape est seulement fonction des températures de l'étape précédente : une seule définition des conditions initiales est suffisante.
  Dans l'équation des ondes c'est la dérivée seconde par rapport au temps qui est impliquée, les amplitudes à une étape donnée sont fonction de ce qu'elles étaient aux deux étapes précédentes : deux définitions des conditions initiales correspondant à deux étapes successives sont donc indispensables :  U(1, I, J)  et U(2, I, J) décrivent l'amplitude de chaque cellule du bassin aux temps t0 et t0 + k , laps de temps durant lequel l'onde aura parcouru une longueur h..

 

Simulation

  Opérant en deux dimensions, la partie essentielle du programme comporte une boucle supplémentaire :

 Les conditions initiales correspondent à la premières image de cette animation :.

  A gauche la surface du bassin où les hauteurs d'eau sont représentées par les différentes couleurs :
- jaune correspond au niveau moyen, celui du bassin en eau calme
- les teintes bleues les plus foncées signalent les sommets des vagues
- les rouges leurs creux.

  A droite :
- les lignes horizontales du quadrillages correspondent à l' amplitude initiale du train d'onde
- les lignes verticales s'ajustent sur la longueur d'onde de l'exemple traité, les tirets marquant les demis et quarts d'onde
- à chaque cycle le profil d'amplitude (courbe bleue ) est relevé sur un diamètre
- s'y superpose ( courbe verte ) le profil d'une onde plane ayant les mêmes caractéristiques.

  Le train d'onde circulaire tend à s'élargir, les amplitudes s'atténuant progressivement. L'onde plane et l'onde circulaire se propagent à la même vitesse, simulation conforme à la réalité.

  En prenant  v négatif dans la ligne de définition de  U(2, I, J) le sens de la propagation sera inversé, l'onde circulaire centrifuge deviendra centripète.

  L'onde commence par converger en s'amplifiant, passés les remous centraux elle poursuit sa progression en divergeant, l'exécution du programme de simulation s'arrête quand le train d'onde a repris son diamètre initial.

  Cette animation, comme la précédente et la suivante, est constituée d'images réduites.

  La dernière vue observée sous taille initiale montre plus clairement :
- une avance d'un quart de longueur d'onde convergente (tracé bleu) sur l'onde plane (tracé vert)
- une inversion de phase qui se vérifie en superposant l'onde convergente (en bleu) et son profil initiale retourné (en rouge).

  Dans l'animation cette inversion qui se traduisait  par une permutation des couleurs sur l'image du bassin.

  Phénomène semblable à l'inversion de phase d'une onde lumineuse après son passage par un foyer optique, révélé par l'expérience de Meslin  et le dispositif de Lloyd.

  Déphasage démontré dans le chapitre 34 du Bruhat d'optique ( Sixième édition. Masson & Cie ).

  Le déroulement de ces effets s'observera plus clairement en simulant un faisceau lumineux.


3.2.2 Optique

  L'algorithme est applicable aux effets optiques faisant abstraction de la nature électromagnétique de la lumière, en particulier de sa polarisation.

Inversion de phase au foyer optique

  Une simulation 3 D allongerait considérablement les temps de calcul, l'approximation 2D suffit à visualiser le déroulement de l'inversion. Pour cela, le plus simple est de générer un faisceau convergeant d'enveloppe gaussienne, exceptés quelques aménagement sa programmation reste, pour l'essentiel, identique à la précédente.

  Le graphique présente en bleu l'évolution du train d'onde au niveau de l'axe optique. S'y superpose, en vert, le profil d'une onde plane de mêmes caractéristiques, L'avance de phase de l'onde circulaire, par rapport ce témoin, commence avant le foyer et se poursuit au delà jusqu'à atteindre 1/4 de longueur d'onde. L'enveloppe du train d'onde, au contraire, prend un retard d'un quart de longueur d'onde.
  Finalement,  l'alternance centrale qui pointait au départ vers le haut pointe alors vers le bas. Cette l'inversion de phase s'est réalisée au voisinage du foyer sur une largeur de quelques longueurs d'onde.

  La simulation s'arrête lorsque l'onde a parcouru des longueurs égales de part et d'autre du foyer. S'y superpose alors, en orangé, le symétrique par rapport au foyer de son profil initial. La conformité entre le profil simulé et le profil théorique s'avère quasi parfaite.  
  Ici aussi, des vues agrandies permettent une analyse plus approfondie du passage au foyer et de l'arrivée à l'autre extrémité du diamètre.

  Arrivé au foyer ( droite verticale noire ), le train d'onde ( profil bleu ) est devenu symétrique par rapport à un point.

  Ses alternances de tête ont déjà pris une avance d'un quart d'onde sur le train d'onde plane ( vert ), alors que les dernières sont encore en phase avec lui.
  Au foyer, sur la figure, le  déphasage avoisine le 1/8 de longueur d'onde.

  Apparemment, l'opération s'effectue sur une distance d'une dizaine de longueurs d'onde autour du foyer.

  En fin de parcours toute les alternances affichent une avance d'un quart de longueur d'onde par rapport au témoin ( vert ).

  A cette échelle, le recouvrement du profil calculé et du profil théorique reste excellent.

  Il restera satisfaisant tant que le train d'onde comportera un  nombre suffisant d'alternances notables. En deçà, le déphasage conserve sa valeur théorique, mais l'évolution des amplitudes devient insuffisante pour que l'inversion se manifeste parfaitement.

  Exceptées les largeurs des trains d'ondes, trois simulations réalisées avec les mêmes paramètres que la précédente ont conduit à ces trois images finales :

.

  Peu de changement sur la première, la seconde reste acceptable, mais l'inversion ne se réalise plus sur la dernière bien que le déphase subsiste avec, apparemment, sa valeur théorique.

Réfraction

  La simulation ci-contre montre la réfraction d'une impulsion lumineuse abordant, sous incidence oblique, un dioptre plan d'indice 1,3

  L'onde se partage entre une partie réfléchie pointant vers le bas et une partie réfractée déviée vers le haut selon la classique relation :

  En revanche, la polarisation des ondes lumineuses n'étant pas prise en compte, le programme  ne saurait simuler la biréfringence de la calcite.

Effet tunnel optique

  Lorsque les deux indices de réfraction et l'angle d'incidence conduisent à la réflexion totale celle-ci s'accompagne d'un onde évanescente qui se manifeste au delà de l'interface sur un épaisseur avoisinant la longueur d'onde. C'est notamment le cas du prisme droit.

    La théorie le prévoit et l'expérience le montre, son intensité décroît exponentiellement avec l'éloignement  Cette onde évanescente se révèle facilement en approchant un dioptre plan. Ainsi, l'onde lumineuse franchit une faible épaisseur d'air par effet tunnel optique comme les électrons franchissent une barrière de potentiel par effet tunnel quantique. Voir la 5eme page du cours de Mécanique Quantique de Ph. Grangier .

  L'algorithme de simulation numérique en rend parfaitement compte et permet de vérifier l'atténuation exponentielle de l'onde évanescente en augmentant progressivement l'écartement. L'onde capturée se propage dans le prolongement de l'onde incidente.

  Une onde incidente ( profil vert) se propage horizontalement de gauche à droite, en superposition avec la fraction réfléchie qui se dirige vers le bas,.
  L'onde évanescente est visible entre les deux lignes noires inclinées, limites de la lame d'air.
  L'onde capturée, (profil rouge) poursuit sa course dans la partie droite des images.

  L'utilisation d'un train d'onde gaussien facilitera la détermination du rapport amplitude de l'onde évanescente / amplitude de l'onde incidente : chacune sera la somme des valeurs absolues des amplitudes. Comme le montre ces 7 figures, l'onde évanescente s'atténue rapidement avec la distance.

  En portant le logarithme des rapports d'amplitudes en fonction de l'écartement, le programme Regr_Pol permet de vérifier l'affaiblissement exponentiel de cette onde.

  L'alignement des résultats montre que l'algorithme aux différences finies simule correctement l'onde évanescente.

Focalisation

   Une sphère en verre, boulle de cristal des voyantes ou bouchon de carafe, se comporte comme une lentille médiocre mais présente l'avantage de faciliter la programmation du dispositif optique simulé.

  Une simulation 2D montre qualitativement la façon dont la lumière s'y focalise.

  Malgré un traitement antireflet consistant en une variation progressive de l'indice de réfraction en surface, il subsiste malgré tout quelques interférences parasites.

  L'écart source-centre optique choisi assure la formation d'un front d'onde pratiquement rectiligne dans le verre qui se traduit par une propagation sans atténuation comme le montre le profil des amplitudes ci-contre.

Cet " objectif " très rudimentaire, ne peut révéler l'inversion de phase qui se manifeste au foyer.

  Toutes ces animations se développent dans des cadres différents, mais toutes opèrent avec le même algorithme : l'adaptation au numérique de l'équation de propagation des ondes. Il ne s'agit pas de dessins animés assistés par ordinateur, les conditions aux limites et les conditions initiales étant définies, inversion de phase et effet tunnel optique se réalisent spontanément.


4.3 Equation aux différences finies en coordonnées polaires

  En coordonnées polaires l'équation différentielle (3.1) devient :

  Dans ce cas les deux nouvelles approximations issues des développements en série deviennent :

où r est le pas sur le rayon.

  L'approximation de la dérivée seconde par rapport au temps  prenant la forme :

d'où

et en prenant  r = v k

Application

  En coordonnées polaires il  devient possible de simuler la propagation d'une onde circulaire sur un bassin en travaillant seulement sur un rayon

  La figure ci-contre en représente 8 étapes successives, relevées périodiquement.

  La pression acoustique décroît en raison inverse de la racine du temps ou de la distance au centre (courbe rouge y = A / R1/2)

0

R  


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