Equation des télégraphistes

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Propagation tridimensionnelle

Simulation numérique de la propagation des ondes

3 - Propagation bidimensionnelle

1 Propagation unidimensionnelle

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3 Propagation bidimensionnelle

4 Propagation tridimensionnelle


  La propagation d'une onde sur une surface liquide, obéit à une équation aux dérivées partielles comportant deux variables d'espace :

(3.1)

  Ici aussi, ce seront les conditions aux limites et les conditions initiales qui distingueront les solutions particulières.

  Comme en propagation unidimensionnelle, v est supposé indépendant de la fréquence


3.1 Equation aux différences finies en coordonnées rectangulaires

  Le terme supplémentaire introduit par cette deuxième dimension compliquera le traitement par les différences finies.

  Un développement en série de Taylor au point x,y permet d'exprimer les amplitudes aux temps t+k et t-k  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en ce point.

donnant par addition :

  D'où une approximation valable pour les petites valeurs de k :

(3.2)

  De même, au temps t, un nouveau développement en série de Taylor exprime les amplitudes ut,x+h,y et ut,x-h,y en fonction de l'amplitude et de ses dérivées par rapport à x en x,y :

d'où :

et pour les petites valeurs de h :

(3.3)

  En adoptant un pas identique pour les deux variables d'espace, la dérivées seconde par rapport à y s'exprimera par :

(3.4)

  En remplaçant les éléments différentiels de (3.1) par leurs approximations dans (3.2) , (3.3) et (3.4) :

  En adoptant des accroissements finis tels que   h²/k² = 1   il résulte :

(3.5)

  Quand v² est supérieur à 0,5 de petites instabilités apparaissent puis s'amplifient rapidement jusqu'à provoquer l'arrêt du programme. Pour l'éviter, après chaque cycle de simulation un lissage Savitzky-Golay estompera les imperfections avant qu'elles ne s'amplifient.
  Pour les simulations opérant en milieu homogène, où la vitesse reste constante en tous poins, il sera avantageux de prendre v² = 1/2 et d'exploiter ainsi une forme simplifiée de (3.5) dispensant des lissages :

où v² = 1/2

(3.6)


3.2 Application

3.2.1 Vague circulaire

  Pour commencer, une application simple démontrant la fiabilité de l'algorithme : soit un bassin dans lequel se propage un train d'onde circulaire.

Conditions initiales

  Dans l'équation différentielle de la chaleur le laplacien étant lié à la dérivée première de la température par rapport au temps, la répartition des températures dans une étape est seulement fonction des températures de l'étape précédente : une seule définition des conditions initiales est suffisante.
  Dans l'équation des ondes c'est la dérivée seconde par rapport au temps qui est impliquée, les amplitudes à une étape donnée sont fonction de ce qu'elles étaient aux deux étapes précédentes : deux définitions des conditions initiales correspondant à deux étapes successives sont donc indispensables :  U(1, I, J)  et U(2, I, J) décrivent l'amplitude de chaque cellule du bassin aux temps t0 et t0 + k , laps de temps durant lequel l'onde aura parcouru une longueur h.

 

Simulation

  Opérant en deux dimensions, la partie essentielle du programme comporte une boucle supplémentaire :

 Les conditions initiales correspondent à la premières image de cette animation :.

  A gauche la surface du bassin où les hauteurs d'eau sont représentées par les différentes couleurs :
- jaune correspond au niveau moyen, celui du bassin en eau calme
- les teintes bleues les plus foncées signalent les sommets des vagues
- les rouges leurs creux.

  A droite :
- les lignes horizontales du quadrillages correspondent à l' amplitude du train d'onde
- les lignes verticales s'ajustent sur la longueur d'onde de l'exemple traité, les tirets marquant les demis et quarts d'onde
- à chaque cycle le profil d'amplitude (courbe bleue ) est relevé sur un diamètre
- s'y superpose ( courbe verte ) le profil d'une onde plane ayant les mêmes caractéristiques.

  Le train d'onde circulaire tend à s'élargir, les amplitudes s'atténuant progressivement. L'onde plane et l'onde circulaire se propagent à la même vitesse, simulation conforme à la réalité.

  En prenant  v négatif dans la ligne de définition de  U(2, I, J) le sens de la propagation sera inversé, l'onde circulaire centrifuge deviendra centripète.

  L'onde commence par converger en s'amplifiant, passés les remous centraux elle poursuit sa progression en divergeant, l'exécution du programme de simulation s'arrête quand le train d'onde a repris son diamètre initial.

  Cette animation, comme la précédente et la suivante, est constituée d'images réduites.

  La dernière vue, observée à gauche sous sa taille initiale, montre plus clairement :
- une avance d'un quart de longueur d'onde convergente (tracé bleu) sur l'onde plane (tracé vert)
- une inversion de phase qui se vérifie en superposant l'onde convergente (en bleu) et son profil initiale retourné (en rouge).

  Dans l'animation, cette inversion se traduisait  par une permutation des couleurs sur l'image du bassin.

  Phénomène semblable à l'inversion de phase d'une onde lumineuse après son passage par un foyer optique, révélée par l'expérience de Meslin et le dispositif de Lloyd.

  Déphasage démontré dans le chapitre 34 du Bruhat d'optique ( Sixième édition. Masson & Cie ).

  Le déroulement de cet effet,  s'observera mieux en simulant un faisceau lumineux.


3.2.2 Optique

  L'algorithme est applicable aux effets optiques faisant abstraction de la nature électromagnétique de la lumière, en particulier de sa polarisation.

Inversion de phase au foyer optique

  Une simulation 3 D allongerait considérablement la durée du calcul, l'approximation 2D suffit à visualiser le déroulement de l'inversion. Pour cela, le plus simple est de générer un faisceau convergeant d'enveloppe gaussienne.

  Les teintes bleu clair correspondent aux alternances positives de l'onde convergente, les plus foncées aux négatives.
  La croix signale la position du foyer.

  La courbe rouge représente le profil initiale du train d'onde sur l'axe optique et la bleue son l'évolution durant sa propagation.

  La droite verticale rouge se déplace à la vitesse d'une onde plane.

  La simulation s'arrête lorsque l'onde a parcouru des longueurs égales de part et d'autre du foyer.
  Se superpose alors le profil initiale : l'inversion de phase au foyer se réalise aussi lors de la simulation d'un faisceau lumineux.

  Des vues agrandies permettent une observation plus fine du passage au foyer.
  Ici aussi, le quadrillage vertical correspond à une longueur d'onde, des subdivisions en demi et quart de longueur d'onde figurent sur l'abstisse.

  Dans cette définition des conditions initiales,  "Rayon" est le rayon de l'onde convergente au début de la simulation et "Largeur" proportionnel à son angle d'ouverture.

  La première vue montre le profil initiale de l'onde convergente ( bleue ) quand son centre se trouve encore à 7 longueurs d'onde du foyer, l'onde plane sous-jacente y est recouverte.

  Sur la seconde, le maximum de l'onde plane ( rouge ) se situe à une longueur d'onde du foyer ( matérialisé par une verticale vert sombre ), la tête du train d'onde a déjà subit une avance d'un quart de longueur d'onde. L'arrière, en deçà du foyer, se trouve amplifié par la concentration du faisceau mais sans déformation.

  Sur la troisième, où l'onde plane a encore progressé d'une demi longueur d'onde, l'évolution se déroule essentiellement sur une distance de quelques longueurs centrées sur le foyer.

  Ci-dessus à gauche, alors que l'onde plane est maintenant parvenue au foyer, l'évolution progresse et se poursuit sur les deux vues suivantes, toujours dans la même zone.

  Enfin, sur la vue ci-contre, après avoir parcouru 14 longueurs d'onde soit 566 cycles de progression, correspondant à autant de pixels, l'inversion de phase est entièrement réalisée.

  Le recouvrement du profil idéal ( vert ), symétrique par rapport au foyer ponctuel, est parfait sur la moitié arrière du signal.

  Un léger écart se manifeste à l'avant. Pour quelle raison ?

  Comparativement à l'onde plane, cette simulation souligne deux effets conjugués :
- la phase a pris une avance d'un quart de longueur d'onde Pi/2 
- et le groupe un retard équivalant
d'où un déphasage total de Pi .

  Exceptées les largeurs des trains d'ondes, trois simulations réalisées avec les mêmes paramètres que la précédente ont conduit à ces trois vues finales :

.

  L'inversion se réalise parfaitement sur la première, et le recouvrement reste acceptable pour la seconde. En revanche, sur la dernière, l'impulsion y est trop brève, le déphasage subsiste mais l'inversion parait inachevée.

Réfraction

  La simulation ci-contre montre la réfraction d'une impulsion lumineuse abordant, sous incidence oblique, un dioptre plan d'indice 1,3

  L'onde se partage entre une partie réfléchie pointant vers le bas et une partie réfractée déviée vers le haut selon la classique relation :

  La polarisation des ondes lumineuses n'étant pas prise en compte, le programme ne saurait simuler la biréfringence de la calcite.

Effet tunnel optique

  Lorsque les deux indices de réfraction et l'angle d'incidence conduisent à la réflexion totale celle-ci s'accompagne d'un onde évanescente qui se manifeste au delà de l'interface sur un épaisseur avoisinant la longueur d'onde. C'est notamment le cas du prisme droit.

    La théorie le prévoit et l'expérience le montre, son intensité décroît exponentiellement avec l'éloignement. Cette onde évanescente se révèle facilement en approchant un dioptre plan. Ainsi, l'onde lumineuse franchit une faible épaisseur d'air par effet tunnel optique comme les électrons franchissent une barrière de potentiel par effet tunnel quantique. Voir la 5eme page du cours de Mécanique Quantique de Ph. Grangier .

  L'algorithme de simulation numérique en rend parfaitement compte et permet de vérifier l'atténuation exponentielle de l'onde évanescente en augmentant progressivement l'écartement. L'onde capturée se propage dans le prolongement de l'onde incidente.

  Une onde incidente ( profil vert) se propage horizontalement de gauche à droite, en superposition avec la fraction réfléchie qui se dirige vers le bas,.
  L'onde évanescente est visible entre les deux lignes noires inclinées, limites de la lame d'air.
  L'onde capturée, (profil rouge) poursuit sa course dans la partie droite des images.

  La simulation d'un court train d'onde gaussien ( une impulsion laser de quelques femto secondes ) facilitera la détermination du rapport amplitude de l'onde évanescente / amplitude de l'onde incidente . Comme le montre ces figures, l'onde évanescente s'atténue rapidement avec la distance, décroissance qui devrait suivre une loi exponentielle. 

  Afin de la vérifier, pour chaque épaisseur ce rapport est calculé en intégrant numériquement, sur toute leur longueur, les carrés des amplitudes du train d'onde transmis et du train d'onde incident.

  En portant le logarithme de ces rapports d'amplitudes en fonction de l'écartement, le programme Regr_Pol. trace une excellente droite de régression..

  Les points bleus correspondent aux valeurs calculées, les rouges à leurs positions sur la droite de régression : leur alignement atteste la décroissance exponentielle de l'onde évanescente simulée et confirme la fiabilité de l'algorithme.

Focalisation

   Une sphère en verre, boulle de cristal des voyantes ou bouchon de carafe, se comporte comme une lentille médiocre mais présente l'avantage de faciliter la programmation du dispositif optique simulé.

  Une simulation 2D montre qualitativement la façon dont la lumière s'y focalise.

  Malgré un traitement antireflet consistant en une variation progressive de l'indice de réfraction en surface, il subsiste malgré tout quelques interférences parasites.

  L'écart source-centre optique choisi assure la formation d'un front d'onde pratiquement rectiligne dans le verre qui se traduit par une propagation sans atténuation comme le montre le profil des amplitudes ci-contre.

Cet " objectif " très rudimentaire, ne peut révéler l'inversion de phase qui se manifeste au foyer.

  Toutes ces animations se développent dans des cadres différents, mais toutes opèrent avec le même algorithme d'adaptation au numérique de l'équation de propagation des ondes. Il ne s'agit pas de dessins animés assistés par ordinateur, les conditions aux limites et les conditions initiales étant définies, inversion de phase et effet tunnel optique se réalisent spontanément.


4.3 Equation aux différences finies en coordonnées polaires

  En coordonnées polaires l'équation différentielle (3.1) devient :

  Dans ce cas les deux nouvelles approximations issues des développements en série deviennent :

où r est le pas sur le rayon.

  L'approximation de la dérivée seconde par rapport au temps  prenant la forme :

d'où

et en prenant  r = v k

Application

  En coordonnées polaires il  devient possible de simuler la propagation d'une onde circulaire en travaillant seulement sur un rayon

  La figure ci-contre en représente 8 étapes successives, relevées périodiquement.

  La pression acoustique décroît en raison inverse de la racine distance au centre (courbe rouge y = A / R1/2)

0

R  


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