Propagation unidimensionnelle

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Simulation numérique de la propagation des ondes

2 - Equation des télégraphistes

1 Propagation unidimensionnelle

2 Equation des télégraphistes

3 Propagation bidimensionnelle

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   L'équation des télégraphiste permettra de simuler l'atténuation des ondes unidimensionnelles.
  Elle régi l'évolution des impulsions électriques dans les lignes de transmission :

(2.1)

où :
E = tension en x au temps t
L = inductance en  par unité de longueur 
C = capacité                  "               "
R = résistance                "               "
G = perditance ( inverse de la résistance d'isolement par unité de longueur), responsable de l'atténuation.


  Si l'isolement est parfait, hypothèse raisonnable pour les enrobages de polymères, G est nul et l'équation différentielle se réduit à :

(2.2)

  L'ajout d'un terme comportant la dérivée première complique légèrement le traitement par les différences finies.
  Au temps t, le développement en série de Taylor exprime les amplitudes Ex+h,t et Ex-h,t  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en x 

donnant par addition :

d'où l'approximation valable pour les petites valeurs de h

(2.3)

de même, au niveau x, les amplitudes aux temps t+k et t-k, respectivement Ex,t+k et Ex,t-k, seront :

et

 

(2.4)

  Pour la dérivée par rapport au temps, de  façon semblable :

  En soustrayant 

d'où l'approximation valable pour des petits pas sur le temps : 

(2.5)

  En prenant :

a = LC          b = RC

(2 , 1 ) devient

et en remplaçant les élément différentiels par leurs approximation dans (2.3), (2.4) et (2.5), il vient :

  En adoptant :

h2 =  k2/a

qui conduit, sans autre approximation, à une relation directement applicable dans un programme de simulation.

(2.6)

Applications

Atténuation

  Dans la page précédente, les conditions initiales étaient imposée par deux profils successifs espacé d'un temps k.
  Ici les messages expédiés en extrémité de ligne sont délivrés au fur et à mesure du temps, en imposant les tensions aux deux premières et/ou aux deux dernières cellules. Dans l'exemple ci-desous les deux messages sont représenté par deux ondes d'enveloppes gaussiennes

- Boucle principale du sous-programme Visual Basic simulant l'équation des télégraphistes -

où P1 et S1 sont respectivement la pulsation et le sigma d'une de la première onde, P2 et S2 ceux de la seconde.. 
  R2 est l'atténuation   Rk / 2L   attribuée au point I de la ligne, dont les valeurs ont été préalablement enregistrées dans la variable Att()
  Cette partie du programme simule la propagation de ces deux d'onde dans une ligne résistante et inductive.

  Naturellement, les deux messages se croisent sans interférer mais s'atténuent progressivement. La ligne est subdivisée en 840 cellules, mais pour éviter les réflexions aux extrémité, les ondes sont amorties dans deux prolongements de 100 cellules où R2 croît progressivement.

Rupture d'impédance

  Ici, la ligne présente une rupture d'impédance en son milieu, Att(440) est affectée d'une valeur très supérieure aux autres :

comme sur un câble de transmission elle provoque une atténuation supplémentaire accompagnée d'une réflexion partielle.

Matériaux réfringent et absorbant

  Comment simuler la loi de Beer-Lambert dans le verre ou le polymère constituant les lunettes de soleil ou dans tout autre filtre optique ? En combinant intuitivement (1.3) et (2.6) :

            (2.7)

a représente l'absorption de la lumière sur une épaisseur k.

  Après remplacement de (1.3) par (2.7) dans le programme qui a simulé les propagations plus ou moins rapide des 3 gaussiennes de la page précédente, en adoptant  3  densités optiques identiques, la loi de Beer-Lambert s'applique pour chacune des vitesses.


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