Propagation unidimensionnelle

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Propagation bidimensionnelle

Simulation numérique de la propagation des ondes

2 - Equation des télégraphistes

1 Propagation unidimensionnelle

2 Equation des télégraphistes

3 Propagation bidimensionnelle

4 Inversion de phase au foyer optique

5 Effet tunnel optique

6 Propagation tridimensionnelle


   L'équation des télégraphistes permettra de simuler l'atténuation des ondes unidimensionnelles.
  Elle régit la propagation des messages dans les lignes de transmission :

(2.1)

où :
E = tension en x au temps t
L = inductance par unité de longueur 
C = capacité                  "               "
R = résistance                "               "
G = perditance ( inverse de la résistance d'isolement par unité de longueur).


  Si l'isolement est parfait, hypothèse raisonnable pour les enrobages de polymères, G est nul et l'équation différentielle se réduit à :

(2.2)

  L'ajout d'un terme comportant la dérivée première complique légèrement le traitement par les différences finies.
  Au temps t, le développement en série de Taylor exprime les amplitudes Ex+h,t et Ex-h,t  en fonction de l'amplitude et de ses dérivées en x 

donnant par addition :

d'où l'approximation valable pour les petites valeurs de h

(2.3)

de même, au niveau x, les amplitudes aux temps t+k et t-k, respectivement Ex,t+k et Ex,t-k, seront :

et

 

(2.4)

  Pour la dérivée par rapport au temps, de  façon semblable :

  En soustrayant 

d'où l'approximation valable pour des petits pas sur le temps : 

(2.5)

  En prenant :

a = LC          b = RC

(2 , 1 ) devient

et en remplaçant les éléments différentiels par leurs approximations dans (2.3), (2.4) et (2.5), il vient :

  En adoptant :

h2 =  k2/a

qui conduit, sans autre approximation, à une relation directement applicable dans un programme de simulation.

(2.6)

Applications

Atténuation

  Dans la page précédente, les conditions initiales étaient imposées par deux profils successifs espacés d'un temps k.
  Ici les messages expédiés aux extrémités de ligne sont délivrés au fur et à mesure du temps, en imposant les tensions des deux premières et/ou aux deux dernières cellules. Dans l'exemple ci-dessous les deux messages émis simultanément aux deux extrémités de la ligne sont représentés par deux ondes d'enveloppes gaussiennes , 

- Boucle principale du sous-programme Visual Basic simulant l'équation des télégraphistes -

où P1 et S1 sont respectivement la pulsation et le sigma d'une de la première onde, P2 et S2 ceux de la seconde.. 
  R2 est l'atténuation   Rk / 2L   attribuée au point I de la ligne, dont les valeurs ont été préalablement enregistrées dans la variable Att()
  Cette partie du programme simule la propagation de ces deux d'ondes dans une ligne résistante et inductive.

  Naturellement, les deux messages se croisent sans interférer mais s'atténuent progressivement. La ligne est subdivisée en 840 cellules, mais pour éviter les réflexions aux extrémité, les ondes sont amorties dans deux prolongements cachés de 100 cellules où R2 croît progressivement.

Rupture d'impédance

  Ici, la ligne présente une rupture d'impédance en son milieu, Att(440) est affectée d'une valeur très supérieure aux autres :

comme sur un câble de transmission elle provoque une atténuation supplémentaire accompagnée d'une réflexion partielle.

Matériaux réfringent et absorbant

  Comment simuler la loi de Beer-Lambert dans le verre ou le polymère constituant les lunettes de soleil ou dans tout autre filtre optique ? En combinant  (1.3) et (2.6) :

            (2.7)

a représente l'absorption de la lumière sur une épaisseur k.

  Après remplacement de (1.3) par (2.7) dans le programme simulant les propagations plus ou moins rapides des 3 impulsions de la page précédente et en adoptant  3  densités optiques identiques, la loi de Beer-Lambert s'applique pour chacune des vitesses.


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