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Equation des télégraphistes

Simulation numérique de la propagation des ondes

1 - Propagation unidimensionnelle

1 Propagation unidimensionnelle

2 Equation des télégraphistes

3 Propagation bidimensionnelle

4 Propagation tridimensionnelle


  Les oscillations d'une corde tendue, la propagation d'une onde ou d'une impulsion dans un fil ou un canal, obéissent à une même équation aux dérivées partielles :

(1.1)

où u est l'amplitude de l'onde, x et t les coordonnées d'espace et de temps. et v la vitesse de propagation. Que ce soit en uni, bi ou tridimensionnel le milieu est supposé non dispersif, v sera donc indépendant de la fréquence.

  Les conditions aux limites et les conditions initiales conduiront aux solutions particulières, qu'il s'agisse d'une résolution analytique ou d'une simulation numérique FDTD ( Finite Difference Time Domain ), appliquée ici de façon autonome.


1 Equation aux différences finies

  Les transformations effectuées sur l'équation de la chaleur sont appliquées ici à l'équation des ondes.
  Les développements de Taylor deviennent

 

dont la somme donne

qui, pour les petites valeurs de h, se réduit à : 

  Le même raisonnement appliqué sur la dérivée seconde par rapport au temps donne

  En remplaçant dans (1.1) les éléments différentiels par ces différences finies :

(1.2)

et en adoptant des accroissements finis tels que  k² / h²  = 1 , il résulte deux formulations :

(1.3)

cette dernière utilisable seulement en milieu homogène, en appliquant implicitement v = 1 la vitesse maximale concevable.
  Autrement, la vitesse sera fonction du milieu traverser sans dépasser v = 1 la limite supérieure.
  Dans les applications optiques v serait inversement proportionnel à l'indice de réfraction  :  v = c/n.

Si v = 0 

  Avec u 0,x  = u -k,x   comme condition initiale  et  u t+k,x  = 2 u t,x- u t-k,x  comme équation aux différences finie  l'onde sera effectivement immobile.

Si v = 1
  Au temps t + k l'amplitude dans la cellule d'abscisse x sera, au temps t+k,  la somme des amplitudes de ses deux voisines d'abscisses  x-h et x+h au temps t, diminuée de son amplitude au temps t-k.
  Soit un sommet d'impulsion aux temps   t-k  et  t :

  x-3h x-2h x-h x x+h x+2h x+3h x+4h
t - k 4 7 9 10 9 7 4  
t   4 7 9 10 9 7 4

  Dans ce cas, l'application de (1.3) donne pour  t + k :

t + k     4 7 9 10 9 7

  L'impulsion est déplacée d'une cellule par cycle sans subir la moindre déformation.
  En inversant les deux lignes d'amplitudes du premier tableau seul le sens du déplacement serait inversé.

  Les 3 images ci-contre proviennent d'une simulation numérique de propagation de trois impulsions gaussiennes, relevées en position initiale, à mi-parcours et en fin de course.

  Seule l'impulsion rouge, plus rapide,  a été calculée avec la formule simplifiée, la bleue et la verte en adoptant respectivement  les vitesses  v = 1/2  et v = 1/4 .

  Aucune altération visible des signaux après 720 applications successives de l'algorithme, 

Programmation de  l'algorithme

  Les conditions initiales seront définies au temps t0 et au temps tk afin de définir la forme de l'onde au temps t2k en appliquant sur la variable bi-dimensionnée L(M,N) la relation (1.3).

  x-2h x-h x x+h x+2h
t 0     u x,0    
t k   u x-h,k   u x+h,k  
t 2k     u x,2k    
  ...        

puis, au pas suivant sur l'abscisse :

  x-2h x-h x x+h x+2h
t 0       u x+h,0   
t k     u x,k   u x+2h,k
t k       u x+h,2k  
  ...        

et ainsi de suite sur toute l'étendue du domaine.

  Cette première étape décrit la forme de l'onde au temps 2k , qui donnera accès à sa forme au temps 3k en recommençant ce calcul. avec les valeurs de u au temps  t =  k et t = 2k 

  La variable L(2,M) est dotée d'une dimension supplémentaire afin d'en mémoriser 3 étapes successives

   L (c, I ) =  L (b, I -1)  + L (b, I  + 1 ) - L (a, I )

(1.4)

en alternant les rôles de L(0,M), L(1,M) et L(2,M),  a, b, et c  se voyant attribuer les valeurs 0, 1 ou 2 en fonction du temps écoulé selon :

T 1 2 3 4 ...
a 0 1 2 0 ...
b 1 2 0 1 ...
c 2 0 1 2 ...

  Mais, avant de simuler des solutions particulières  il est indispensable de définir les conditions aux limites et les conditions initiales.


2 Conditions aux limites

  Qu'il s'agisse d'une corde vibrante ou de la propagation d'impulsion, les démonstrations jointes au programme s'appliquent sur un domaine fini, subdivisé en 900 cellules.
  Les impulsions se réfléchiront sur les deux extrémités. 
  Si besoin était, une ligne infinie serait simulée par un nombre de cellules suffisamment grand pour que les réflexions aux extrémités ne puissent revenir dans la zone d'observation durant le laps de temps consacré à la simulation 


3 Conditions initiales

3.1 Onde stationnaire

  Soit une corde vibrant sur son Nième harmonique.
  Dans sa position d'équilibre ( L(1,I) = 0 sur toute sa longueur),  la vitesse verticale de chaque cellule sera exprimée par L(2,I).

 

3.2 Propagation d'une impulsion

  Dans ce cas L(1,I) et L(2,I) décrivent les amplitudes pour deux positions successives de l'impulsion.

  Ces définitions de la première étape de propagation s'appliquent seulement pour  v = 1. L'adoption d'une vitesse moindre obligerait à en tenir compte dans la définition des conditions initiales.
  Ainsi, pour une vitesse moitié moindre, v = 1/2 , la seconde ligne de la boucle deviendrait :

 L(2, I) =  160 * Exp (-(I  - 450.5) ^ 2 * 0.001)

puisque chaque déplacement serait moitié moindre.

3.3 Sous programme " PROPAGE "

  Le sous programme qui a simulé les déplacements des trois gaussiennes comprend les définitions de leurs conditions initiales suivies des instructions commandant leurs migrations. 

où :
-  les trois variables sont dimensionnées Ln(2,902) 
-  Nbr_Cellules vaut 900 et Nbr_Cycles 721
-  V1 = 1  V2 = 1/2  V3 = 1/4 .


4 Programme " Onde "

  " Onde " est seulement un programme de démonstration.

  " Nbr.Cycles " permet d'exécuter la démonstration courante 1,2,4,8,...ou 64 fois consécutives.

  " Réflexion " permet de choisir entre des réflexions normales ou des réflexions avec retournement temporel comme dans la démonstration 5.5 ci-dessous

  " Démo " offre le choix entre 5 fréquences d'oscillation d'une corde tendue et la propagation de différentes impulsions.


5 Démonstrations

  Les exemples ci-dessous sont tous régis par l'instruction (1.2), seules les conditions initiales les distinguent.
  Il s'agit des images du premier cycle présentées en boucle. Ce raccourci est parfaitement légitime : dans chaque démonstrations, le signal reste inchangé même après 64 cycles calculés.

5.1 Cordes vibrantes

  Cet animation est une superposition de 3 solutions :
- fréquence fondamentale en rouge
- second harmonique en vert de fréquence double
- troisième harmonique en bleu de fréquence triple.

  En musique, si la solution colorée en rouge correspondait à un do, la verte et la bleue seraient respectivement le do et le sol de l'octave supérieur.


5.2 Propagation d'une impulsion

  Les déformations en bout de ligne démontrent que le déplacement de l'impulsion n'est pas une simple translation d'image mais provient bien de la résolution de l'équation des ondes, qu'il s'agisse de réflexions classiques ou de réflexions sur des simulations de miroirs à retournements temporels.


5.3 Propagation d'une impulsion et d'un train d'ondes en sens oposés

  Ce train d'onde gaussien est le produit d'une sinusoïde et d'une gaussienne, il simule la propagation d'un son bref. Périodiquement, il croise une impulsion se déplaçant en sens opposé.
  La superposition temporaires des deux signaux s'effectue sans altération des informations.


5.4 Propagation de deux trains d'ondes

  En opérant avec le programme " Onde ", aucune altération visible après 64 cycles. Ainsi, 128 réflexions et 128 croisements des deux trains d'ondes n'affectent aucunement les signaux


5.5 Propagation d'une impulsion entre deux miroirs à retournement temporel

  Les miroir à retournement temporel concernent surtout l'acoustique : l'onde détectée est enregistrée puis restituée à rebours.
  La technologie est appliquée dans le domaine médical.
  Cette démonstration utilise un autre artifice : arrivée à l'une ou l'autre des extrémités, deux lignes représentant deux temps successifs sont permutées :

puis l'exécution du programme se poursuit sans modification 
  S'agissant d'échos, après avoir crié " Ho Hé " l'écho du miroir de droite répondrait en verlan " Hé Ho " puis, après un nouveau retournement, celui de gauche restituerait le message original.


5.6 Téléchargement du programme de démonstration

 

  Pour exécuter ces simulations en fonction des conditions initiales :

.

Télécharger Onde.exe

 

  Chacun de ces fichiers est compressés mais auto- extractibles. L'acceptation du chargement ouvrira cette fenêtre.

  En cliquant  "Décompresser"  vous l'installerez dans votre dossier "Program Files" (ou dans celui que vous choisirez).

  Le dossier Onde.exe contiendra :
- l'exécutable
- un raccourci (orientant vers C:\Program Files )
- 2 fichiers indispensables si Visual Basic 5 n'est pas installé sur votre disque dur.

  Si ce télé-chargement vous posait quelques problèmes, consultez d'abord le mode opératoire détaillé.


6 Application

6.1 Effet Doppler

  L'effet doppler se manifeste lorsque la distance séparant un émetteur et un récepteur d'ondes varie :
- s'ils s'approchent l'un de l'autre le récepteur constatera une augmentation de fréquence
- si au contraire ils s'éloignent la fréquence mesurée diminuera.

 L'effet se manifestera également lors de la réflexion d'une onde, sur un obstacle mobile :
- échographie doppler permettant  d'observer le sens d'écoulement dans les vaisseaux sanguins
- radars routiers assurant le contrôle des vitesses .

  Pour des raisons de lisibilité la simulation suivante porte sur un train d'onde, plutôt qu'une onde continue.
  Pour faciliter la programmation la mesure de vitesse s'effectue après dépassement du radar. Cette technique, aussi fiable, serait plus discrète, mais ... chut !

  Le véhicule bleu est immobile, l'onde est réfléchie sans modification de fréquence.

  Le véhicule vert roule à la vitesse autorisée, l'effet Doppler induit une diminution de fréquence acceptable de l'onde réfléchie.

  Un abaissement plus important de la fréquence dénonce la vitesse excessive du véhicule rouge.


6.2 Optique - Adaptation aux indices de réfraction

  Lorsque la lumière se propage dans un milieu réfringent sa vitesse devient fonction de l'indice de réfraction du matériau , donné le plus simplement par le rapport des vitesses de la lumière dans le vide et dans le matériau considéré.  Il en sera tenu compte :

- en adoptant la première forme de  (1.3) 

- dans la programmation des conditions initiales  L(1,I) et L(2,I).

  Le tracé bleu correspond à une onde lumineuse monochromatique se propageant dans le vide : v = 1.

  Les suivant correspondent à la propagation de cette même onde dans des verres :
-  " crown " dont les indices avoisinent 1.5 , en vert
-  un " flint " dont l'indice peut atteindre 2, en rouge.


6.3 Optique - Lame à faces parallèles

  Le premier train d'onde - tracé bleu - se propage en milieu homogène, donc à vitesse constante..
  Le second - bleu - traverse un milieu plus réfringent, sa vitesse y est ralentie, sa longueur d'onde diminuée et: les deux changements d'indice provoquent des réflexions partielles.
  Pour le dernier, les variations d'indice étant progressives, les réflexions sont fortement atténuées.


6.4 Optique - Vitesse de phase-Vitesse de groupe

  Lorsque la vitesse de propagation dépend de la fréquence, la vitesse de phase diffère de la vitesse de groupe.

  Cette application présente l'évolution d'une somme de deux ondes dont le rapport des fréquences vaut très exactement 4/5 dans deux circonstances :
- dans un milieu non dispersif ( vitesse indépendante de la fréquence ), la résultante se propage sans déformation
- en revanche, si l'onde de fréquence élevée devance l'autre, la vitesse de groupe sera inférieure à la vitesse de phase.

Vitesse de groupe = vitesse de phase

Vitesse de groupe < vitesse de phase


NB Comme dans les démonstrations précédentes, ces animations ne sont pas de simples translations mais résultent de simulations numériques exploitant les relations (1.4) ou (1.5) .


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