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  MDLB.exe  permet d'explorer l'ensemble de Mandelbrot et d'y découvrir des régions où sa nature fractale se manifeste de façon spectaculaire, mais il existe 3 points, de coordonnées entières, où la reproductibilité des images sous grandissements croissants est parfaite:
- le premier, sur l'axe réel pour Xo=-2, a fait l'objet de la 3ème animation
- les deux autres se situent sur l'axe imaginaire en i et -i.


3.1    Xo= -2  Yo= 0

  Cette image représente le voisinage du premier point singulier (point bleu), observé sous un grossissement de 220 ( environ un million).

  Sous des grossissements croissants ce motif se répèterait indéfiniment.

  Les deux zones foncées sont homothétiques : la mauve est rigoureusement quatre fois plus grande que la verte.

  Caractéristique valable pour tous les grandissements. 

  Propriété aisément démontrable.

  Analysons la région proche de -2 en considérant un point Z1 ,

où le module de z sera très petit devant 2, puisque le grossissement avoisine le million.

  Les itérations successives de Mandelbrot s’exprimeront par :

et donc


  Puisque z est déjà petit devant 2 son carré sera négligeable et nous aurons pratiquement :

  Puis :

soit, en négligeant encore le terme au carré

  Et ainsi de suite jusqu’à divergence (module de Zn>2)


...

  La suite des coefficients  { 1, 3, 11, 43, 172, … }  obéit à la règle de récurrence :

dont le énième terme est donné par :

  Pour les grandes valeurs de n , 1 deviendra négligeable et nous aurons pratiquement :

  D’où, si       

  Considérons 2 points pour lesquels   k = 4   et  k = 1. Après n itérations , le premier donnera :

  Après n+1 itérations , le second donnera :

identique au précédent.

  Un module 4 fois plus petit nécessitera donc une itération supplémentaire pour parvenir à la divergence, ce qui placera le point dans la bande colorée adjacente.

  Ces bandes sont extérieures à l'ensemble de Mandelbrot qui, par définition, se limite au domaine où la suite des itérations ne diverge jamais. Dans la région considérée ici, l'ensemble se limite à l'axe réel entre -2 et -1.4011... , plus des "clones" centrés sur l'axe réel. Dans la partie proche de -2, ces "clones" se situent là où les limites de bandes semblent converger vers l'axe réel, mais ne se révèlent qu'aux forts grandissements.

  Voir l'animation N°2


3.2    Xo= 0  Yo= ± i

  Ces deux points, de coordonnées entières, appartiennent aussi à l'ensemble puisque les applications successives de la formule d'itération conduisent alternativement aux deux seules valeurs:  -i  et  -1 + i .

  En centrant l’image sur l’axe imaginaire au point y = i., après exécution avec une palette de 16 couleurs et un grossissement 220 , l’option « Parcours » affiche les valeurs complexes des itérations successives, au point indiqué par la flèche blanche. La suite diverge après la 18ème itération.

  En augmentant le grossissement d’un facteur 220 pour atteindre 240, l'image reste pratiquement identique, ainsi que la succession des valeur successives affichées dans le plan complexe, mais avec 16 itérations supplémentaires :

  Pour les 3 grandissements intermédiaires de facteur 25 , l’image reste identique mais subit des rotations d'un angle droit.

Même région observée sous des grossissements de 225, 230 et 235 .

  Cette représentation en quadrichromie suffit à vérifier la parfaite reproductibilité, puisque pour cette série de grandissements, les bandes de même apparence nécessitent 4 itérations supplémentaires. Voir l'animation N°3

  Ici aussi la similitude de ces images traduit la quasi identité des suites d’itérations. Le tableau suivant correspond aux valeurs successives des nombres complexes obtenus après chacune des itérations définissant :
- d’une part un point situé dans la plus large des bandes bleues du dernier cliché (G=235)
- et d’autre part un point correspondant dans la même bande d’un grandissement G=240

Pour faciliter la comparaison des colonnes de nombres, la rotation a été compensée en multipliant par -i

  L’accord atteint 10-10, cette surprenante concordance se démontre. Ici aussi la méthode s’appliquera seulement aux forts grossissements, supérieurs au million, le domaine exploré sera donc très petit. Le module de z restant inférieur au millionième, l‘élimination des termes contenant x2, y2 ou xy induira donc des erreurs insignifiantes.

  Considérons un point Z1 proche de i

soit

  La formule d’itération

donne à la première étape

ou, en regroupant les parties réelles et imaginaires

  Les calculs se compliqueraient pour les termes suivants, aussi est-il préférable d’utiliser une formule de récurrence, qui exprimerait Zn+1= F(kx,ky) à partir de Zn= f(kx,ky).

  Les parties réelles et imaginaires sont seulement fonction des valeurs initiales. Il en sera de même aux étapes suivantes, pour lesquelles nous aurons :

  En appliquant la formule d’itération

les termes contenant x2 , y2 ou xy étant négligeables le développement se réduit à :

  D’où les 6 règles de récurrence applicables aux 6 coefficients

avec

ceci indépendamment de z et du facteur multiplicatif k.

  Par récurrence, ces valeurs initiales conduisent au tableau des valeurs successives :

  Etant données les alternances sur A(n) et B(n), ils restent inchangés après un décalage d’ordre pair.

  Considérons un point Z1 = i + kz du plan complexe choisi dans le très proche voisinage du point (0,1) et un autre point Z2, encore plus proche, tel que Z2 = i + z. Les 3 points   i , Z2 et Z1   étant alignés, un grossissement d’un facteur k remplacera  Z1 par Z2.

  Prenons k = 220 et appliquons à Z1 et Z2 les itérations de Mandelbrot jusqu’à divergence : le tableau ci-dessus montre que les deux suites de nombres complexes prendront des valeurs identiques décalées de 16 itérations.

  En effet, après n itérations sur Z1 nous aurons :

et après n+16 itérations sur Z2

  Par conséquent, si pour Z2 la suite diverge après n itérations, il en faudra n+16 pour Z1, avec une palette de 16 couleurs, Z1 et Z2 seront affectés de la même couleur.

  En tenant compte des rotations π/2, la méthode permet aussi de démontrer la reproductibilité de la figure pour des grandissements de 25 et des décalages de 4 itérations.


3.3 Tous les autres

  Ce sont les 3 seuls ayant des coordonnées entières, mais il en existe une infinité d'autres, tel le point :

-1,939 353 390 755 77 + 0.002 014 670 810 909 9 i

observé ici avec une palette bicolore

Grd. = 220 Grd. = 222 Grd. = 224

  L'image est restituée à l'identique pour chaque grandissement d'un facteur 4 ( en couleurs complémentaires une fois sur deux).


3.4 Autre singularité

  La partie principale de l'ensemble, la cardioïde et ses cercles tangents, est reproduite dans sa périphérie.

  Les plus grands clones apparaissent déjà dans la page précédente, ils sont reproduit ci-dessous à gauche, se présentant sous diverses orientation. De plus forts agrandissement en révèlent une infinité d'autres, dont certains sous la même orientation. L'image de droite représente la partie supérieure d'un de ces clones particulièrement bien orienté : en faisant abstraction des couleurs l'homothétie est surprenante !

Xo = - 0.106 810
Grd. = 24
64 couleurs

Yo = 0.975 712
400. Itérations
Red shift =25

Xo = 0.268 823 125
Grd. = 225
32 couleurs

Yo = 0.004 005 910 892
25600. Itérations
32 couleurs par niveau

  Similitude qui se poursuit dans les moindres détails des ramifications. Ainsi, le point singulier de coordonnées

Xo = 0 Yo = i

figurant ci-dessous au centre de l'image gauche, a son équivalent dans ce même clone au point

Xo = 0.268 823 177 916 101  Yo = 0.004 005 920 149 074 43 i

  Il figure au centre de l'image de droite, sous la grandissement maximum du navigateur ( 245 )

  Similitude d'autant plus surprenante que le rapport de taille est supérieur à 2.106 et que cela résulte de cette simple formule :

  Et, bien sûr, l'étroit chemin reliant ce dernier point à la partie principale est parsemé de clones, tel celui-ci :

relevé en : Xo = 0.268 823 177 934 978  Yo = 0.004 005 920 156 300 87  i  , lui aussi, au grandissement maximum.


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