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2 Explorateur Mandelbrot

Ensemble de Mandelbrot

1 Présentation

1 Présentation

2 Explorateur Mandelbrot

3 Points singuliers

4 Puissances supérieures

5 Images Mandelbrot

6 Animations Mandelbrot


 Bien qu'il appartienne aux mathématiques, l'ensemble de Mandelbrot forme des figures d'une fascinante beauté et les logiciels permettant de les dessiner s'utilisent sans connaissance mathématique. Vous êtes parvenu à cette première page, vous saurez exploiter le programme proposé en deuxième page.

 Si vos professeurs de mathématiques  n'ont pas réussi à vous transmettre leur passion, s'il ne vous reste aucun souvenir de vos cours de math, passez directement à la page suivante, vous y trouverez quelques agrandissements de cet ensemble :
 - ils vous inciteront sans doute à en réaliser d'autres, à explorer vous-même les régions qui vous sembleront prometteuses, à modifier les gammes de couleurs, la taille ou l'orientation des images
 - vous réaliserez des animations, d'abord en vous laissant guider par le logiciel, puis en choisissant vous-même sujets et conditions de "prise de vue"
 - plus tard vous visualiserez dans le "plan complexe" les valeurs des itérations successives.

 Devant la beauté et l'originalité des images, la facilité de les réaliser, on s'étonne que l'ensemble de Mandelbrot soit pratiquement méconnu des décorateurs. Bien évidemment il ne s'agit pas d'œuvres artistiques, bien que certaines réalisations rivalisent avec les meilleures créations contemporaines. L'intervention des mathématiques et de l'informatique dans la plupart des activités humaines est maintenant acceptée, pourquoi cette réticence à les appliquer au domaine esthétique ? Pourquoi ces images extraordinaires sont-elles condamnées à rester virtuelles ?
  Si vous découvrez, un gravure, une céramique, un tissu ou un tapis, représentant tout ou partie de l'ensemble de Mandelbrot, admirez cette pièce rare.


1.1 Définition

  L'ensemble de Mandelbrot est un objet mathématique fractal d'une extraordinaire diversité, bien que la formule d'itération qui le défini soit d'une surprenante simplicité :

où C et Z sont des nombres complexes.


1.2 Partie réelle

  Abordons le problème plus simplement en considérant seulement la partie réelle de l'ensemble. La formule prend alors la forme simplifiée :

X et C étant des nombres réels.

  En prenant X0 = 0 nous aurons successivement :

  Commençons par C = 0. X restera constamment nul quelque soit le nombre d'itérations

  Avec C = 1 , X croît indéfiniment  : X1 = 1, X2 = 2, X3 = 5, ...   par définition, la suite des itérations conduisant à une valeur supérieure à 2, C = 1 n'appartient pas à l'ensemble.

  Cela sera le cas pour toutes valeurs de C supérieures à 1/4, qui constitue la limite supérieure de l'ensemble sur l'axe réel.
En effet, pour C = 1/4 , les valeurs successives de X sont 0,25  0,3125  0,3476 ... , elles tendent vers 0.5 , sans dépasser cette limite puisque:

  C = -2 constitue la limite inférieure, pour laquelle, dès la seconde itération, X vaudra toujours 2 :

  Entre -2 et + 1/4 si grand soit le nombre n d'itérations Xn restera toujours inférieur à 2 et donc tout nombre réel compris entre ces 2 limites appartient à l'ensemble de Mandelbrot.


1.3 Partie complexe

  Mais l'ensemble de Mandelbrot ne se réduit pas à ce segment de droite; pour le décrire dans sa totalité le recours aux nombres complexes est indispensable.

  Un nombre complexe, généralement noté Z , est la somme de deux parties, une partie réelle X et une partie imaginaire iY,

il est représenté dans le plan complexe par le point  d'abscisse  X  et d'ordonnées Y.
  Son module

correspond à la diagonale du rectangle de dimensions  X et Y.

  Pour déterminer si le point de coordonnées x,y , appartient ou non à l'ensemble de Mandelbrot, on appliquera la formule d'itération

mdlb_101.gif (989 octets)

avec  C= x + iy  et   Z = X + iY, d'où

soit

  Reste à séparer les parties réelle et imaginaire en notant que, selon la définition de i :

et en divisant par i, les 2 formules permettant de déterminer si le point de coordonnées x,y appartient ou non à l'ensemble :

  Pour dessiner l'ensemble de Mandelbrot, chaque pixel du domaine étudié, de coordonnées x et y, sera testé comme suit :

  - partant de X0=0 Y0=0 , on calculera X1 et Y1 , puis X2 et Y ...

  - après chaque itération on calcule le module selon :

dès qu'il dépasse 2  on est assuré que le point est extérieur à l'ensemble, et l'on attribue au point une couleur adaptée au nombre d'itérations effectuées avant divergence.
  Si cette limite n'est pas atteinte après un nombre d'itérations pré-établi, le point sera présumé appartenir à l'ensemble et sera teinté de blanc.

  L'ensemble de Mandelbrot est essentiellement constitué d'une cardioïde et de cercles qui lui sont tangents.


1-4 Visualisation des itérations

  L'explorateur de l'ensemble de Mandelbrot proposé au téléchargement comporte une option permettant de visualiser, dans le plan complexe, les positions atteintes au fur et à mesure des itérations successives.

 

  Tous les points de la bande bleue foncée conduisent à la divergence ( module > 2 ), après  5 itérations. La figure ci-dessus correspond au point de coordonnées  x = - 1.333 919  y = 0.239 411 , défini par la position de l'index. En déplaçant cet index sur un autre point de la bande bleu, les 5 itérations conduiront aussi à la divergence mais selon un itinéraire différent.

- A l'intérieur de la partie principale de l'ensemble

  Ici, les segments joignant deux points successifs forment des figures caractéristiques de la région  visée :

  Pour les points situés dans le cercle supérieur ces segments se stabilisent sur des triangles.

  Les points de la cardioïde proche de ce cercle conduisent à des figures d'aspect triangulaire, s'amenuisant progressivement.

  Sur le lobe suivant, les triangles deviennent des pentagones étoilés, des pentacles légèrement déformés.

 

 et ainsi de suite.

- A l'extérieur de la partie principale de l'ensemble 

  Ici, la suite des itérations diverge inéluctablement, mais en plus de la cardioïde et des cercles observables sous faible grandissement il existe une infinité de répliques, de tailles variées, reliées à la partie principale par un fin réseau ramifié de filaments infiniment ténus, qui se révèlent seulement par un accroissement du nombre d'itérations à réaliser dans leur voisinage.

  Dans le voisinage du cercle pour lequel les valeurs des itérations successives forment un pentagone étoilé, les ramifications constituées de 5 branches principales forment des étoile fractales. Un choix judicieux, du nombre de couleurs, du nombre d'images et une légère rotation traduisent la réalité d'un grandissement perpétuel en visionnant seulement 100 images en boucle.

  Là où  les mêmes opérations conduisent à des heptagones étoilés on observera, selon la même technique, des étoiles fractales à 7 branches.


  La page 5 présente 10 vues de l'ensemble sous divers grossissements. Les coordonnées du centre et les divers grandissements y sont mentionnés.  Le choix des palettes de couleurs est le seul artifice utilisé pour révéler les figures formées.

  Sur la sixième page, 5 animations de moyenne dimension, temps de chargement oblige.

  Vous trouverez sur la page suivante un programme téléchargeable, qui autorise la réalisation d'images et d'animations de meilleure qualité.


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