Exemples et comparaison

Accueil

Intégration numérique

5 Application aux intégrales multiples

1 Calcul des coefficients de pondération

2 Calcul des coefficients du troisième degré

3 Valeurs des coefficients de pondération

4 Exemples et comparaison aux méthodes classiques

5 Application aux intégrales multiples


Intégrale double :

 

  Le domaine d'intégration compris entre x1 et x2 sera partagé en m pas de largeur h=(x2-x1)/m. De même sur y, où la distance y1 à y2 sera fragmentée en n bandes de largeur k=(y2-y1)/n.

  L'intégration numérique sur x sera effectuée sur chacune des lignes en utilisant les coefficients de pondérations précédemment définis. Ces sommes partielles seront à leur tour pondérées puis additionnées.

où s est la surface du " pas rectangulaires ".

  Ce qui revient à additionner les valeurs de la fonction à chacun des nœuds, en pondérant avec le produit des coefficients de pondérations.


  En utilisant les coefficients de pondération précédemment calculés pour le troisième degré, les coefficients de pondération des nœuds du coin inférieur gauche sont donnés dans le tableau ci-contre.
   Les mêmes poids se retrouveront symétriquement répartis dans les trois autres coins

... ... ... ... ... ...
9/24 28/24 23/24 1 1
9/24 28/24 23/24 1 1
23*9/242 23*28/242 23*23/242 23/24 23/24
28*9/242 28*28/242 28*23/242 28/24 28/24
9*9/242 9*28/242 9*23/242 9/24 9/24
Exemple :

  Quelle est la distance moyenne entre deux points pris au hasard sur un segment de longueur unité ?

  Si x1 et x2 sont les coordonnées des deux points, leur distance sera :

ou, pour s'affranchir de l'opérateur "valeur absolue"

  Leur distance moyenne sera obtenue en considérant tous les segments possibles :

  

  En prenant 20 pas sur chacune des variables elle sera évaluée par :

 

où les coefficients de pondération du troisième degré valent  :

P0 = P20 = 9/24

P1 = P19 = 28/24

P2 = P18 = 23/24

P3 à P17 = 1


  Ces données conduisent déjà un résultat satisfaisant :

d =  0.332 908

puisque la valeur exacte, obtenue par intégration analytique, vaut 1/3 .  

  L'utilisation du 5eme degré appliquée avec 100 pas sur x et autant sur y, améliore considérablement la précision :

d =  0.333 316


Intégrale quadruple

Exemple :

  Quelle est la distance moyenne entre deux points pris au hasard dans un carré 1 par 1 ?

  Si x1y1 et x2y2 sont les coordonnées des deux extrémités d'un segment quelconque, sa longueur est donnée par :

d'où, en considérant tous les segments possibles :

  La solution analytique, n'est pas évidente. Est-elle réalisable ?

  En prenant 20 pas sur chacune des variables on obtient :

   Pour le troisième degré, les coefficients de pondération deviennent :

P0 = P20 = 9/24

P1 = P19 = 28/24

P2 = P18 = 23/24

P3 à P17 = 1

et pour le cinquième degré ils valent :

P0 = P20 = 95/288

P1 = P19 = 317/240

P2 = P18 = 23/30

P3 = P17 = 793/720

P4 = P16 = 157/160

P5 à P15  = 1

  Un court programme, constitué de 4 boucles imbriquées, donne des résultats très voisins pour les deux approximations, respectivement :

d = 0.521 370 750     et     d = 0.521 372 932

  La méthode Monte-Carlo conduit à des valeurs semblables mais avec des durées de calculs prohibitives pour atteindre ce degré de précision. Des essais successifs, portant chacun  sur des séries d'un milliard de simulations, ont donné :

0.521 378 0.521 385 0.521 377 0.521 380 0.521384

  Certes, les procédés numériques sont efficaces, facilement mis en oeuvre, il leur manque seulement l'élégance d'une belle solution analytique !


Extraire la page pour l'enregistrer ou l'imprimer