Valeurs des coefficients de pondération

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Application aux intégrales multiples

Intégration numérique

4 Exemples et comparaison aux méthodes classiques

1 Calcul des coefficients de pondération

2 Calcul des coefficients du troisième degré

3 Valeurs des coefficients de pondération

4 Exemples et comparaison aux méthodes classiques

5 Application aux intégrales multiples


Exemple

 

Calculer le logarithme népérien de 2 avec des conditions minimales :
seulement 10 pas et 3eme degré ( donc 3 valeurs pondérées aux 2 extrémités )

x

1/(1+x)

Pondération

Produit

>0

1.000000

3/8

0.375000

0.1

0.909091

7/6

1.060606

0.2

0.833333

23/24

0.798611

0.3

0.769231

1

0.769231

0.4

0.714286

1

0.714286

0.5

0.666667

1

0.666667

0.6

0.625000

1

0.625000

0.7

0.588234

1

0.588235

0.8

0.555556

23/24

0.532407

0.9

0.526316

7/6

0.614035

1

0.500000

3/8

0.187500

 

 

Total/10 =

0.693158

 

 

ln(2) =

0.693147

 

 

Erreur relative

1.53 E-5

  Les coefficients de pondération du neuvième degré et 20 pas de 0.05 donnent 10 chiffres exacts

Comparaisons

  Dans le tableau suivant, le domaine d'intégration est toujours subdivisé en 20 intervalles égaux.

 

Théorique

3.141592653590

0.6931471805599

0.881373587019543

0.8427007929497

3.3182289932

Trapèzes

3.1411...

0.6933...

0.8812...

0.8425...

3.33...

Simpson

3.141592652...

0.6931473...

0.88137359...

0.8427008...

3.3185...

Degré3 (a)

3.141592652..

0.693146...

0.88137356...

0.8427006...

3.317...

Degré3 (b)

3.1415921...

0.6931479...

0.881373584...

0.842701...

3.319...

Degré5 (a)

3.141592656...

0.693147186...

0.8813735872...

0.842700793...

3.31825...

Degré5 (b)

3.1415927...

0.69314719...

0.88137359...

0.842700794...

3.31829...

Degré7 (a)

3.14159265359...

0.6931471804...

0.88137358702...

0.84270079295...

3.3182281...

Degré7 (b)

3.14159264...

0.693147181...

0.881373586...

0.8427007928...

3.31823...

Degré9 (a)

3.141592653590

0.69314718056...

0.8813735870194...

0.842700792947...

3.31822900...

Degré9 (b)

3.141592654...

0.6931471806...

0.88137358706...

0.84270079295...

3.318229...

(a) avec des points hors des limites d'intégration
(b) sans point hors des limites d'intégration. 

  Avec le troisième degré, les précisions sont comparables à celles de la méthode Simpson (qui utilise aussi le troisième degré), elle croît rapidement pour les degrés supérieurs .


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