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Calcul des coefficients du troisième degré

Intégration numérique

1 Calcul des coefficients de pondération

1 Calcul des coefficients de pondération

2 Calcul des coefficients du troisième degré

3 Valeurs des coefficients de pondération

4 Exemples et comparaison aux méthodes classiques

5 Application aux intégrales multiples


 La méthode des trapèzes consiste à partager le domaine d'intégration, compris entre les deux limites a et b, en n tranches de largeurs égales h et d'assimiler l'aire de chaque tranche à celle d'un trapèze. Ceci revient à additionner les valeurs de la fonction aux points a, a+h, a+2h, ... , b-2h, b-h, b en pondérant par 0.5 les deux valeurs extrêmes.
 La méthode Simpson, plus précise, utilise un arc de parabole défini par trois points :  Simpsons Rule, sur mathworld.wolfram, site mathématique très complet.
 Diverses améliorations ont été proposées : Michel Ker intègre les équations différentielles en résolvant des systèmes d'équations établis par récurrence.
 Une autre voie consiste à utiliser des polynômes d'interpolation de degrés impairs supérieurs.
  L'intégration se traduira encore par l'addition des valeurs de la fonction en des points équidistants, mais le nombre des valeurs pondérées aux deux extrémités sera égal au degré du polynôme.


  Soit F(x) une fonction, continue entre a et b, à intégrer entre ces deux limites. Le domaine à intégrer est subdivisé en m intervalles égaux de largeur 2h. Pour calculer la surface de la bande hachurée, centrée sur le point d'abscisse 0, on intégrera le polynôme de degré 2n+1 qui prend les valeurs de la fonction aux points d'abscisses +/-1, +/-3, ... ,+/-(2n+1).

  La surface de la bande hachurée est donnée par :

  Avec un polynôme d'interpolation de degré 2n+1,

dont les paramètres seront ajustés pour coïncider avec la fonction aux 2(n+1) points. Cette surface vaudra :

soit :

si  [A] et [B] sont respectivement les matrices colonne et ligne

   Restent à déterminer les coefficients de pondération P à appliquer aux 2(n+1) ordonnées de la fonction pour que SF=SP , sachant que par symétrie les coefficients d'indices opposés seront égaux :

expression qui peut aussi s'exprimer sous forme d'un produit de matrices ligne et colonne

  Puisque SP, la surface délimitée par le polynôme, doit égaler SF , celle délimitée par la fonction :

  Les (n+1) éléments de la matrice [A] sont accessibles en résolvant le système de 2(n+1) équations :

seuls les coefficients d'indices pairs étant utilisés le système se réduit à :

  Si [C] est la matrice carrée

après inversion de cette matrice, |A] vaudra

et, puisque

pour  arriver finalement à :

  Il ne s'agit pas de résoudre un système d'équations pour chaque intégration mais de déterminer, dans un cadre général, des coefficients de pondérations indépendants de la fonction, dont le nombre et les valeurs dépendent uniquement du degré du polynôme choisi pour l'intégration. Leur somme vaut 1 , comme cela est manifeste si l'on considère la fonction y=Cste.

  Ces coefficients permettent seulement de calculer la surface de chaque bande isolément. Avec un polynôme d'interpolation de degré n (n impair) la surface des bandes successives sera 

  A partir de la énième bande, exception faite des n dernières, le poids de chacune sera égal à 1 puisque

alors que pour les n premières nous avons :

avec des pondérations symétriques pour les n dernières.

  Pour ces nouveaux coefficients il s'agirait de calculer la surface totale entre les deux limites a et b mais en impliquant des valeurs extérieures aux limites d'intégration.

  Se limiter au domaine d'intégrations impose donc d'utiliser un autre procédé pour évaluer la surface des deux extrémités.

  Considérons maintenant les n bandes négligées au début du domaine à intégrer ainsi que les n suivantes et utilisons le polynôme de degré 2n coïncidant avec la fonction F(x) aux 2n+1 points ainsi définis. Reste à calculer les coefficients de pondération applicables aux 2n+1 abscisses afin que la surface des n premières bandes soit assimilable à l'intégrale de la fonction entre -n et 0.

  La surface de la zone initiale correspond à :

  La fonction est assimilée à un polynôme d'interpolation de degré 2n,

ses coefficients seront ajustés pour qu'il coïncide avec la fonction aux 2n+1 points d'abscisses +/- i. La surface de cette zone vaudra :

soit :

[A] et [B] étant respectivement les matrices colonne et ligne

  Reste à déterminer les coefficients de pondération, afin que la surface de la zone sous le polynôme soit identifiable à celle située sous la fonction, on prendra ici :

soit, comme précédemment le produit de matrices :

  Et, puisque SP la surface délimitée par le polynôme doit égaler SF celle délimitée par la fonction :

  Les 2n paramètres ai de la matrice [A] sont calculés en résolvant le système

  Après inversion de la matrice carrée [C]

et finalement

  A chaque extrémité du domaine d'intégration les n premières ordonnées seront pondérées par la somme des deux composantes constituant les matrices [P'] et [P'']. On évite ainsi l'utilisation de valeurs extérieures au domaine d'intégration.
  Le calcul des coefficients du 3ème degré est donné comme exemple d'application de cette méthode.


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