Fonction gamma

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Programmation de fonctions spéciales

3 Fonction de Bessel J

1 Fonction erreur

2 Fonction gamma

3 Fonction de Bessel  J


  Les fonction de Bessel sont impliquées dans la résolution des équations différentielles en coordonnées cylindriques : diffusion de la chaleur dans les cylindres, oscillation d'une membrane cylindrique, propagation des ondes ....


3.1 Définition

  Pour les valeurs entières et positives de , la fonction de Bessel de première espèce sera  calculée à l'aide des factorielles :

( 3 . 1 )

en revanche, pour les autres valeurs positives le recours à la fonction factorielle s'imposera .

( 3 . 2 )

3.2 Valeurs particulières

  Seules les valeurs demi-entières de font exception, puisque :

( 3 . 3 )

  La formule de récurrence :

donnant accès à toutes les valeurs demi-entière de .
  

3.3 Programmation

Function Bessel_J(N, X)
J = 0
Z2 = X / 2
For I = 0 To (33 - Int(N))
  If N - Int(N) = 0 Then K = 1 Else K = 2
  Select Case K
    Case 1 ' *** Nu entier ***
      JP = Z2 ^ I / F(I) * Z2 ^ (I + N) / F(I + N) * (-1) ^ I
    Case 2 ' *** Nu non entier ***
      JP = Z2 ^ I / F(I) * Z2 ^ (I + N) / Gamma(I + N) * (-1) ^ I
  End Select
  J = J + JP
  If J <> 0 Then If Abs(JP / J) < Eps Then Exit For
  Bessel_J = J
Next I
End Function

  Selon que N ( ) est entier ou non les termes du développement sont calculés avec ( 3 . 1 ) ou ( 3 . 2 ). Cette distinction apporte un gain sensible sur les temps d'exécution.

  F(I) et F(I+N) introduisent les factorielles, préalablement calculés.

  Gamma est le sous-programme de type " Function " décrit dans la page précédente

  " Bessel_J " et " Gamma "  sont exploités dans les programmes d'élaboration du tableau et des courbes ci-dessous.

  Un aperçu sur l'évolution des fonction J0 à J4 , puis un tableau dynamique, téléchargeable, affichant 6 décimales pour  J0 à J10  , de x = 0 à 10 .

  Les barres de défilement permettent :
- d'ajuster et X au pas de 0.01
- d'afficher les résultats avec 9 chiffres significatifs.

  Les valeurs intermédiaires de et  X peuvent s'introduire directement par le clavier.

  Pour Nu = 0.5 et x = 1 le programme affiche une valeur identique à celle donnée par ( 3 . 3 ) avec 9 chiffres exactes


  

3.4 Téléchargement

Télécharger BESSEL_J.exe

  Ce fichier est compressés mais auto- extractibles. Après l'avoir appelé, l'acceptation du chargement ouvrira cette fenêtre.

  En cliquant  "Décompresser"  vous l'installerez dans votre dossier "Program Files" (ou dans celui que vous choisirez)

  Le dossier BESSEL_J contiendra :

- l'exécutable
- un raccourci (orientant vers C:\Program Files )
- 2 fichiers indispensables si Visual Basic 5 n'est pas installé sur votre disque dur.

Si ce télé-chargement vous posait quelques problèmes, consultez d'abord le mode opératoire détaillé.


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