Fonction erreur

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Fonction de bessel J

Programmation de fonctions spéciales

2 Fonction gamma

1 Fonction erreur

2 Fonction gamma

3 Fonction de Bessel  J


  Egalement appelées fonction eulerrienne de seconde espèce ou encore fonction factorielle en raison de sa parenté avec les factorielles.     


2.1 Définition

  Elle peut se définir sous forme d'une intégrale où z est un nombre complexe

soit, en restant dans le domaine réel

  La forme suivante simplifiera la programmation :

( 2 . 1 )

2.2 Valeurs particulières

  Pour tout x entier positif

( 2 . 2 )

relation justifiant son appellation

  Pour x égal 1/2 :

  La relation de récurrence :

permet d'en déduire

soit

ou de généraliser :

soit

( 2 . 3 )

  Ces points, calculables avec toute la précision désirée, permettront de tester la précision des estimations obtenues par intégration numérique. Pour les valeurs entières positives de x la vérification portera sur n! et pour les valeurs demi-entières ce sera avec ( 2 . 3 ) , en affichant :

( 2 . 3 )

2.3 Programmation

  La fonction intégrée dans ( 2 . 1 ) tend assez rapidement vers zéro. En effectuant le changement de variable   T 8 = t

la nouvelle fonction devient quasi nulle au delà de T = 2, ce qui permet de limiter l'intégration numérique de T=0 à T=2 sur 200 pas.

 Quand la comparaison est possible, les résultats de cette intégration numérique concordent à 10-12 près avec ceux des formules ( 2 . 2 ) ou ( 2 . 3 )

  Ainsi, le sous programme VB5, de type " Function ", assurant le calcul de la fonction Gamma pour une variable réelle, se réduit à ces quelques lignes.

Public Function Gamma(X)
FM = 1
If X <= -0.5 Then
    I = -Fix(X)
    For J = 0 To I + 1
        X = X + 1
        FM = FM * X
    Next J
End If
Gamma = 0
For T = 0 To 2 Step 0.01
    Gamma = Gamma + (Exp(-T ^ 16) * T ^ (16 * X + 15))
Next T
Gamma = 0.16 * Gamma / FM
End Function

  Le recours à une méthode d'intégration numérique plus élaborée, telle que celle décrite ici , serait superflue puisque la fonction est nulle ou proche de zéro au voisinage des deux limites d'intégration.

  Si les courbes ci-contre représentent effectivement la fonction Gamma en fonction de x , le tableau ci-dessous exprime Gamma(x+1) qui, pour x entier, prend les valeurs de factorielles.

  C'est sous cette forme qu'elle sera utilisée dans la page suivante, pour se substituer aux factorielles, dans le calcule des fonctions de Bessel d'indice non-entiers

2.4 Téléchargement

Télécharger GAMMA.exe

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  En cliquant  "Décompresser"  vous l'installerez dans votre dossier "Program Files" (ou dans celui que vous choisirez).

  Le dossier GAMMA contiendra ::
- l'exécutable
- un raccourci (orientant vers C:\Program Files )
- 2 fichiers indispensables si Visual Basic 5 n'est pas installé sur votre disque dur.

  Si ce télé-chargement vous posait quelques problèmes, consultez d'abord le mode opératoire détaillé


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