6 Changement d'état

Accueil

8 Défloutage photo

Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

7 Déconvolution numérique

1 Diffusion unidimensionnelle

2 Diffusion bidimensionnelle

3 Diffusion tridimensionnelle

4 Application aux ponts thermiques

5 Simulations dynamiques

6 Changement d'état

7 Déconvolution numérique

8 Défloutage photo


7.1 Déconvolution numérique unidimensionnelle

  Tant que les conditions aux limites restent inchangées les processus de diffusion sont par nature irréversibles : la chaleur se propage inexorablement des zones chaudes vers les zones froides. Une propagation inversée, impensable selon les lois de la thermodynamique puisque l'entropie diminuerait,  peut s'envisager afin de retrouver un état antérieur à partir de la répartition de chaleur observée.
  Décrire les temps passés comme les historiens et non remonter le temps comme les héros de science-fiction.

7.1.1 Calcul des coefficients de pondération

  Le problème se résoudra en inversant le signe du temps dans l'équation (1,1) :

(7.1)

ou plus exactement lors du traitement numérique.
  Il conviendrait de démontrer la légitimité de cette opération : plus tard, peut-être.
  Elle conduit à des développements pertinents en simulation numérique, c'est déjà bon signe !

  Bien que le terme rétrodiffusion décrive déjà des mécanismes physiques, il désignera ici l'opération assurant le retour à un état antérieur de la diffusion.

  Pour remonter le temps l'approximation (1.3) prendra la forme :

qui reporté dans (7.1) avec (1.2)  donnent :

  En rappelant que :

il vient

 

  Et en adoptant comme précédemment :


(7.2)

qui simulera la rétrodiffusion, comme (1.7) simule la diffusion.

Remarque

  L'autoconvolution des 3 paramètres, -1/6 , 8/6 et -1/6 conduit à une suite de 5 paramètres assurant une rétrodiffusion deux fois plus rapide :

1 / 36 -16 / 36 66 / 36 -16 / 36 1 / 36

(7,3)

une nouvelle convoluton donne 7 paramètres triplant la rapidité

-1 / 216 24 / 216 -195 / 216 560 / 216 -195 / 216 24 / 216 -1 / 216

(7,4)

 

7.1.2 Application

  L'application du procédé sur la simulation d'une diffusion à source constante est particulièrement spectaculaire. Pour des nombres de cycles de diffusion et de rétrodiffusion égaux,  les gaussiennes initiales sont assez fidèlement  restituées ( courbe verte pointillée ).

  Quelques cycles supplémentaires assurent une superposition idéale du profil initial bleu par la plus haute courbe pointillée verte.

Le quadrillage horizontal correspond à une largeur de cellule.
Les profils sont séparés par 5 cycles de diffusion ou de rétrodiffusion.

  Sous cette forme, le procédé serait inapplicable aux cas concrets : la moindre altération du profil diffusé (courbe rouge continue) conduit à de graves distorsions au-delà des premiers cycles de rétrodiffusion.
  Dans le contexte de cette démonstration, multiplier  le contenu d'une des cellules centrales du dernier profil de diffusion par   ( 1 +/-  0.000 000 000 01) engendrera de catastrophiques déformations sur les profils de rétrodiffusion.

  L'application périodique d'un lissage  Savitzky et Golay permet de sauver la situation et autorise la déconvolution de gaussiennes expérimentales, entachées d'erreurs statistiques.

7.1.3 Déconvolution - Programmation

  Effectuer un lissage du 3ème degré sur 5 points après chaque application de la relation ( 7.2 ) limite l'apparition et l'amplification des instabilités.
  La première table de coefficients donne :

-3 12 17 12 -3

et une norme de 35.

  La programmation comporterait alors deux parties distinctes, rétro-diffusion et lissage. Les deux traitements seront simultanés en effectuant préalablement une convolution discrète des deux séries de coefficients :
- ceux de la rétrodiffusion ;

-1/6 8/6 -1/6

- et ceux du lissage Savitzky-Golay

-3 / 35 12 / 35 17 / 35 12 / 35 -3 / 35

  Il en résulte les 7 coefficients de déconvolution :

3 -36 82 112 82 -36 3

et une norme de  6* 35 = 210.

  Confions aux mathématiciens le soin de démontrer la légitimité de l'opération.

  En exploitant la symétrie des coefficients et en adoptant :

Pond(0) = 112
Pond(1) = 82
Pond(2) = -36
Pond(3) = 3

la programmation se réduit à :

elle conduira à des résultats satisfaisants sous réserve de limiter à quelques dizaines le nombre de cycles.

  Cette technique, conçue pour remonter à l'état antérieur d'un processus de diffusion, sera également applicable à la déconvolution de spectres si l'élargissement des raies résulte d'une convolution par une gaussienne. En spectrométrie, les différentes sources de dégradation du signal conduisent le plus souvent à des profils de raies approximativement gaussiens, s'il était besoin cet algorithme les amincira.

  Ainsi, dans ces simulations de spectres constitués de trois raies voisines (courbes bleues), un détecteur peu performant conduit à leur chevauchement (courbe rouge ). Pour une meilleure simulation chaque point du spectre rouge est affecté d'une erreur statistique par application de l'algorithme Box-Muller .

 Dans la première démonstration une déconvolution partielle permet d'isoler chaque raie (courbes verte) et d'intégrer sa surface. Les erreurs relatives sur les aires des trois pics restent inférieures à 1% .

  La seconde démonstration, où la convolution sur des pics trop rapprochés entraîne la disparition du pic central, est un cas limite. L'algorithme révèle l'existence d'un troisième pic mais en le déplaçant et les erreurs s'élèvent à 3%.

  Résultats très probants pour une méthode d'une telle simplicité. Cependant le dernier exemple en fixe les limites : des pics plus rapprochés seraient indiscernables.

  Les deux simulations suivantes, physiquement peu vraisemblables, démontrent l'efficacité de l'algorithme.


7.2 Déconvolution numérique bidimensionnelle

7.2.1 Calcul des coefficients de pondération

  La rétrodiffusion bidimensionnelle pourrait se réaliser avec les coefficients unidimensionnels (7.2)., appliqués alternativement sur toutes les lignes puis sur toutes les colonnes, en reprenant ce double balayage au cycle suivant
. Selon les applications, il peut être plus avantageux de regrouper les calculs en utilisant ce tableau de coefficients :

1/36 -8/36 1/36
-8/36 64/36 -8/36
1/36 -8/36 1/36

  L'opération sera menée comme pour la simulation de la diffusion : à chaque cycle la nouvelle valeur d'une cellule sera la somme de 9 produits des valeurs relevées sur les cellules voisines par le coefficient correspondant .


Extraire la page pour l'enregistrer ou l'imprimer