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Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

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6 Simulation de la solidification unidimensionnelle

  Lors des changement d'états, diffusion et  convection participent conjointement aux échanges thermiques. Lors de la solidification, des conditions expérimentales rigoureuses neutraliseront ces mouvements et seule la conduction de la chaleur dans le solide régira l'évolution du système.

  Comme précédemment, un traitement unidimensionnel permettra de décrire l'évolution de l'épaisseur de la phase solidifiée dans un milieu semi-infini ou un cylindre semi-infini parfaitement isolé latéralement.

Conditions initiales :  Un récipient cylindrique, aux parois latérales parfaitement isolées, contient un corps pur  liquide, à sa température de fusion. L'absence de gradient thermique garanti l'absence de convection..

Conditions aux limites A partir du temps zéro la base du cylindre sera maintenue à une température constante, inférieure à la température de fusion.

  En plus des caractéristiques thermiques du solide, la chaleur latente de fusion, la capacité calorifique du liquide et l'écart de température agiront sur la cinétique de solidification.

  Comme dans le cas du mur fini dont les deux faces parallèles sont maintenues à températures constantes, la chaleur circulera de l'interface solide/liquide vers la source froide à la seule différence que l'épaisseur du mur augmentera avec le temps. Dans ses conditions, la solution analytique stipule que l'épaisseur solidifiée croît selon la racine du temps : ce critère permettra de tester les performances du programme de simulation

  Lors de la simulation, la cellule liquide de l'interface sera considérée solidifiée dès qu'elle aura évacué, par conduction dans le solide, la quantité de chaleur libérée par sa solidification. Pour cela, les quantités de chaleur emportées à chaque cycle de diffusion seront comptabilisées. Lorsque leur somme dépassera le seuil requit pour solidifier une cellule de liquide, l'interface sera repoussée d'une cellule à laquelle sera transféré l'excédent du transfert calorifique.

  Le graphique de la copie d'écran ci-dessous représente les profils successifs de température dans la couche solidifiées.
  Le tableau indique l'épaisseur atteinte en fonction de temps ainsi que le rapport   t/x²   qui tend rapidement vers une valeur constante. 

  Pour les valeurs adoptées ici, l'épaisseur solidifiée croît avec la puissance 0.498 664 du temps. Ce faible écart avec la valeur théorique ( 0.5 ) valide le procédé.

  Les deux tests suivants démontrent que la cinétique de solidification est fonction du rapport  Q / DeltaT , respectivement 50/10  et 100/20

  A  noter, dans les deux cas, un accord avec la théorie avoisinant 1/1000


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