Application aux ponts thermiques

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Changement d'état

Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

5 Simulations dynamiques

1 Diffusion unidimensionnelle

2 Diffusion bidimensionnelle

3 Diffusion tridimensionnelle

4 Application aux ponts thermiques

5 Simulations dynamiques

6 Changement d'état

7 Déconvolution numérique

8 Défloutage photo


5 Conditions aux limites fonction sinusoïdale du temps 

5.1. Milieu semi infini

5 .1 .1  Solutions analytiques

  Dans un milieu semi infini, de température initiale nulle, la température de surface est soumise à une évolution sinusoïdale.

  Condition initiale :Tx,t = 0 pour x>0 et t<0
  Condition en surface : pour t>0

  Passée la période transitoire la température à la profondeur x et au temps t est donnée par la classique expression :

(5.1)

uniquement applicable en régime sinusoïdal établi.

5 .1 .2  Simulation numérique

  Dans la boucle essentielle du programme de simulation, avant chaque cycle de diffusion, la température de surface sera affectée de sa nouvelle valeur :

 Sin ( Pi * J / 800 )

  Le flux thermique en surface est proportionnel à la dérivée par rapport à x. Elle est calculée à partir de la parabole passant par les trois premières températures.

  La température de surfaces en fonction du temps est portée en rouge et l'évolution du flux thermique en surface en bleu.

  Lorsque le régime d'équilibre approche, le déphasage théorique de Pi / 4 entre la température et le flux se manifeste très clairement.

  Cette animation à été réalisée avec le même programme.

  Après que l'équilibre thermique ait été atteint, 160 profils de répartitions de la température en fonction de la profondeur ont été enregistrés périodiquement durant une alternance complète.

  L'amortissement rapide du signal en profondeur, résulte du terme exponentiel de l'expression ( 5 . 1).


5 .2 . Mur d'épaisseur finie

  Le problème sera traité dans le cadre général d'un mur d'épaisseur 2L , de température initiale nulle, dont les températures superficielles en x = -L  et x = +L sont des fonctions données du temps.

5 .2 .1  Solutions analytiques

  La solution sera la sommes de deux contributions indépendantes dont les solution analytiques sont obtenues par la méthode des sources virtuelles.

Température nulle en +L

  Condition initiale : Tx,t = 0 pour -L < x < L et t < 0
  Conditions aux limites :  et TL,t = 0 pour t > 0

(5.2)

Température nulle en -L

  Condition initiale : Tx,t = 0  pour  -L < x < L  et  t < 0
  Conditions aux limites : T-L,t = 0  et     pour  t > 0

(5.3)

Températures variable sur les deux faces

  Que deviendra la fiabilité du procédé quand la température des deux faces d'un mur sera fonction du temps ?

  Dans les deux cas, là où la température est imposée, la contribution de la face opposée est nulle, dès lors la somme de ces deux solutions décrira le régime d'équilibre dynamique au sein d'un mur dans les températures de surfaces varient selon des sinusoïdes.

5.2.2 Simulation numérique

  Condition initiale : Tx,t = 0 pour-L < x < L et t < 0
  Conditions aux limites pour  t > 0 :

et

  Les températures étant imposées sur les deux faces, la contribution de chacune de ces deux faces sera nulle sur la face qui lui est opposée. La répartition de température au sein du mur sera la somme des deux contributions, c'est à dire la somme des solutions (1.12) et (113).

  La figure ci-dessous représente l'évolution des températures dans une simulation portant sur 100 cellules, avec une diffusivité ajustée à 0.2 :
- les sinusoïdes rouge  et bleue correspondent aux températures imposées sur chacune des deux faces
- en noir, la température au milieu du mur en régime dynamique établi ( après plusieurs alternances) , calculée analytiquement
- la courbe verte, obtenue par simulation numérique, rejoint progressivement les températures théoriques.

  Avant chaque cycle de simulation, les températures superficielles sont ajustées aux valeurs correspondant au temps écoulé.

  Passée la période transitoire, la courbe simulée s'approche asymptotiquement de la courbe théorique.
  En simulant sur 100 cellules avec D= 0.2, la superposition devient quasi parfaite après 30 000 cycles de simulation.

  Ce test valide la simulation numérique dynamique non seulement pour la fonction sinus mais aussi pour toute fonction périodique ou non, décomposable soit en  série soit en intégrale de Fourier.


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