Diffusion tridimensionnelle

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Simulations dynamiques

Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

4 Milieu composite Application aux ponts thermiques

1 Diffusion unidimensionnelle

2 Diffusion bidimensionnelle

3 Diffusion tridimensionnelle

4 Application aux ponts thermiques

5 Simulations dynamiques

6 Changement d'état

7 Déconvolution numérique

8 Défloutage photo


  La fiabilité de la simulation étant vérifiée sur quelques exemples ayant une solution analytique, appliquons la aux cas concrets dont la complexité exclu tout espoir de résolution rigoureuse.

 Le programme téléchargeable "Pontermic" simule la diffusion de la chaleur dans des ponts thermiques que vous définirez vous-même : nature et forme de la maçonnerie et des isolants .

 Il a été entrepris à l'initiative de Claude Gricourt et élaboré en amicale collaboration.


4.1 Diffusion dans un milieu composite

  Peu de cas sont traités analytiquement, un des plus simples à programmer est présenté dans " Conduction of heat in solids " de CARSLAW et JEAGER. dans le chapitre consacré aux composites. Il s'agit du mur d'épaisseur finie L, accolé à un milieux semi-infini

4.1.1 Solution analytique

L'interface placée en x=0

  Soit :
- D1 la diffusivité du mur et D2 celle du milieux semi-infini
- K1 et K2 leurs conductivités thermiques respectives

  La température initiale est uniformément nulle dans les deux milieux . Pour t > 0 elle sera maintenue à 1 sur la face du mur en contact avec la source de chaleur.

  En posant :

les répartitions des températures dans le mur et dans le milieu semi infini sont respectivement données par

4.1.2 Résolution par simulation

  Dans  la figure ci-dessous, les 5 courbes rouges correspondent aux répartitions de température ainsi calculées pour des temps croissants.
  Les point  bleus représentent les températures obtenues par simulation.
  Cette concordance persistant pour  toutes autres valeurs des paramètres, ce test valide parfaitement l'extension du procédé aux structures composites.

 

4.2 "Pontermic"

  Pontermic simule les déperditions de chaleur localisées sur des coupes de dalles, murs de refend ... représentées sur un carré de 200x200 cellules.

  Il est essentiellement destiné à orienter le choix d'un mode d'isolement, sans viser à reproduire  rigoureusement la réalité en raison de quelques approximations :
- les résistances thermiques entre matériaux sont négligées
- les pertes par rayonnement sont elles aussi négligées
- les températures de surface sont supposées constantes et égales aux températures intérieures et extérieures

  Il comporte différentes fenêtres :
- un  pupitre de commande 
- un plan sur lequel s'affichera votre construction
- une liste des structures en mémoire
- une fenêtre destinée à afficher l'évolution des températures durant les phases de diffusion.
- une autre dans laquelle figure la répartition finale des températures, les isothermes et des lignes de flux en nombres ajustables
- un tracé de répartition des déperditions.

  Ce programme est conçu pour afficher les températures d'équilibre , il conviendra donc de choisir un temps de pré-diffusion aussi long que possible pour approcher au mieux cette asymptote.

Pupitre de commande

  Lors de sa première exécution le programme effectue la première démonstration , le tableau de commande se présentant ainsi.

  Chaque ligne de la grille décrit un des constituants de la structure à simuler : sa nature, ses caractéristiques thermiques, ses dimensions  et ses coordonnées. 

  Toutes ces données sont ajustables : 
- choisi l'élément à modifier avec la barre de défilement verticale
- définir ses nouvelles propriétés thermiques ou ses nouvelles coordonnées à l'aide des barres horizontales en veillant à éviter les recouvrement et les cellule vide

  Une nouvelle structure sera bâtie soit en réajustant les paramètres d'une ancienne, soit de toutes pièces après remise à zéro.

  Chaque élément rectangulaire de la structure sera automatiquement numéroté de 1 à 20, peu importe l'ordre d'entée des paramètres, ils seront validés en passant à l'élément suivant.

  Le programme déterminera le facteur k le plus élevé possible en fonction des caractéristiques des matériaux utilisés.
  Il est commode d'attribuer un titre avant d'enregistrer.
  Le menu, de conception classique, ne soulèvera aucune difficulté.

  Cette deuxième fenêtre s'affiche durant la phase de construction.

  Les zones à température imposée y sont teintées selon une échelle s'étendant sur 50°C.

  Les matériaux sont grisés en fonction de leur conductivité thermique.

  Leur numéro d'identification, également porté sur la liste du tableau de commande facilitera les ajustements. Lorsqu'il s'agira de modifier les caractéristiques d'un  élément, il suffira de le rappeler en agissant sur la barre de défilement verticale. Comme lors de la construction, l'élément courrant apparaîtra en blanc, il prendra son aspect définitif en focalisant sur un de ses voisins.

  Cette fenêtre sera cachée par la suivante durant la phase de diffusion mais restera toujours disponible depuis le menu "Affichage".

  C'est le cas lors du déroulement de la première exécution ou après chaque lancement.

  Dans cette nouvelle fenêtre, les étapes successives de la mise en équilibre thermique s'affichent selon la même gamme de couleurs.

  Pour accélérer la mise en équilibre, tout les éléments constitutifs sont préalablement "chauffés" à une température médiane entre les deux températures extrême, 0°C ici, et figurent donc en jaune.

  Dans le même but, durant l'étape de pré- diffusion le programme traite une cellule sur 5 en abscisse et ordonnée, ce qui revient à regrouper les cellules par groupes de 5x5 cellules et à réduire ainsi la masse de calcul d'un facteur 25.

  Enfin, afin d'éviter les effets de bord, la phase de pré-diffusion opère sur 400x400 cellules, seul le carré central 200x200 est visible.

  La seconde étape consiste en un lissage par interpolation.

    La troisième étape, "Diffusion ", travaille au niveau des cellules individuelles, les températures et l'apparence de l'image évolueront plus lentement bien que la marge évitant les effets de bord soit réduite à 20 cellules..

  Cette étape terminée, équilibre thermique approché ou non (nombre insuffisant de cycles de pré-diffusion ), les résultats de la simulation paraissent dans les fenêtres "Flux" et " Profils " , cette dernière comportant deux volets.

  A gauche, le relevé final des températures tel qu'il apparaissait sur "Thermo" , superposé par le double réseau des isothermes et des lignes de flux, respectivement vertes et violet.

  Un réticule désigne une cellule. particulière. Ses coordonnées, exprimées en nombre de cellules, figurent à droite des barres qui assurent son déplacement. Plus simple mais moins précis, un clic gauche amène le réticule à l'emplacement de la flèche de pointage.

  La température de la cellule concernée est portée en bas à gauche, ici 19.594 °C

  La ligne de départ commune des lignes flux, initialement à la limite gauche, sera déplacée par un clic droit, elles deviendront équidistantes au niveau de la nouvelle abscisse.

  L'écartement des isothermes, celui des lignes de flux sont ajustables. L'ordonnée des points de départ de ces dernières est mobile sur plus ou moins 10 pixels..

  Chaque déplacement du réticule s'accompagne d"une mise à jour des profils de répartition de température du volet droit.

  Ces deux graphiques présentent les courbes de température d'alignements de cellules, horizontaux en haut, verticaux en bas.

  Les courbes rouges ou bleues concernent les lignes extrêmes :
- rangées supérieures et inférieures en haut
- colonnes gauche et droite en bas.

  La courbe violette supérieure représente les températures des cellules situées à hauteur du réticules.
 Celle du bas concerne l'alignement des cellules situées sur la verticale du réticule.

  Sur le graphique supérieur, la courbe bleue cache la rouge. 

  Arrivé aux régimes proches de l'équilibre thermique, là où les effets du pont deviennent négligeables, la température s'inscrit sur de segments de droite de pentes proportionnelles aux conductivité thermiques ( courbe bleue ).   

  Ce profil des déperditions s'affichera si la structure étudiée comporte au moins un alignement verticale de 200 cellules de matériaux solides.

  L'amplitude de la perte est mesurée le long d'une verticale. Elle est proportionnelle à la valeur absolue des différences finies de la température par rapport à x, multipliée par la conductivité thermique au point considéré. Les valeurs affichées seraient donc erronées au niveau des interfaces.

  Le flux total, correspond à la somme de ces pertes.

  Elle est exprimée en unités arbitraires, en effet il s'agira le plus souvent de comparer l'efficacité relative de différents modes d'isolation. Une évaluation quantitative tiendrait compte de l'échelles adoptée, de la longueur du pont thermique mais aussi des perturbations apportées par les 2 extrémités, les ouvertures et les murs de refend, seule une simulation 3D permettrait de  l'exprimer quantitativement.

  Pour raccourcir la durée de calcul des démonstrations, elles opèrent avec seulement 2000 cycles de pré-diffusion et 200 de diffusion. Nombres manifestement insuffisants pour atteindre l'équilibre thermique, par conséquent, le flux totale dépendant de la profondeur de mesure  En reprenant l'une d'entre elle avec les nombres maximum de cycles ( 10 000 pré-diffusions  et 10 000 diffusions ), l'équilibre sera quasiment atteint et le f lux globale deviendra alors indépendant de la profondeur au % près.

 
  Pour faciliter la gestion des fichiers ( enregistrement, lecture ou effacement), la fenêtre " Liste " affiche leurs titres : un clic sur l'un d'entre eux suffit à le rappeler..

  Il est recommandé de consulter cette liste avant toute autre opération sur ces fichiers.

  "Edition" et "Affichage" du menu de "Pupitre", donnent accès à cette fenêtre

  Toutes ces figures proviennent de la première "démo", celle qui s'exécute automatiquement lors de la première exécution.

  La seconde démonstration traite la même structure après pose d'un plancher en bois et isolation du plafond, elle montre déjà une amélioration.  

  Elle se traduit par :
- une importante abaisse de la température de la dalle, 8.3 °C au lieu de 19.5 °C au point X=100 Y=100 
- un abaissement notable de la courbe des déperditions
- un flux total passant de 29.15 à 23.83

Remarque
  En l'absence de pont thermique, le même mur avec avec la même isolation affiche un flux de 17.17 unités arbitraires.

  Bien que ces représentations soit purement qualitatives, ces deux profils de déperdition montrent que l'isolation des murs reste insuffisante. Celle des planchers et des plafonds la complètent efficacement.

  La troisième démonstration montre qu'une isolation extérieure serait encore plus efficace., non seulement le pont thermique a totalement disparu mais la dalle contribue, très modestement, à l'isolation puisque le flux total se retrouve légèrement inférieur a ce qu'il serait en son absence.  

     


  Ce programme est destiné à simuler les profils de températures en régime d'équilibre thermique, lorsque la durée a perdu toute influence notable. L'enchaînement, pré-diffusion, lissage et diffusion empêche d'établir une correspondance précise entre les nombres de cycles de simulation et le temps écoulé.

  L'ajustement des nombre de cycles sera fonction de l'épaisseur des matériaux, de leurs caractéristiques thermiques et de la précision attendue.

  Les valeurs adoptées pour les 3 démonstrations assurent déjà une approximation satisfaisante de cet équilibre, bien suffisante pour comparer leurs efficacités. Cependant, avec seulement 2000 cycles de pré-diffusion et 200 de diffusion, les fluctuations du flux thermique en fonction de la profondeurs avoisinent 10 %. Ce sera seulement après 10 000 cycles que les flux thermiques en fonction de la profondeur deviendront constant au pour cent près. Précision d'intérêt purement théorique puisque dans la pratique les fluctuations de température extérieure et intérieure empêchent l'établissement d'un tel équilibre.

  Pour accéder aux températures hors équilibre, il sera préférable d'éviter les deux premières étapes en affichant zéro pré-diffusion et en choisissant l'option sans lissage du menu.


4.3 Téléchargement de Pontermic

Télécharger Pontermic

  Si ce télé-chargement vous posait quelques problème, consultez d'abord le mode opératoire détaillé.

 Le fichier téléchargé est auto extractible, après chargement dans le dossier de votre choix son exécution ouvrira cette fenêtre.

  En cliquant  "Décompresser"  vous l'installerez dans votre dossier "Program Files" (ou dans celui dont vous indiquerez l'adresse).

  Le dossier Pontermic contiendra :
- l'exécutable Pontermic.exe 
- un raccourci (orientant vers C:\Program Files )
- 2 fichiers indispensables si Visual Basic 5 n'est pas installé sur votre disque dur.


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