Diffusion bidimensionnelle

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Application aux ponts thermiques

Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

3 Diffusion tridimensionnelle

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3 Diffusion tridimensionnelle

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3.1 Diffusion tridimensionnelle en coordonnées rectangulaires

  Souvent, un problème tridimensionnel peut s'abaisser à 2D, mais il est des cas plus complexes nécessitant un traitement 3D. Le raisonnement précédemment utilisé conduit alors à 3 nappes de 9 cellules.

  Considérons une des cellules d'un objet 3D, soit I , J , K ses 3 indices dans le programme de simulation et S leur somme.
  La quantité de chaleur contenue dans cette cellule centrale sera fractionnée en 216 parties ( 63 ), à répartir entre 26 cellules adjacentes. Le processus sera fractionné en trois étapes :
- diffusion dans une première dimension conduisant à la répartition :

36/216

144/216

36/216

- suivie d'une diffusion dans une seconde dimension :

6/216

24/216

6/216

24/216

96/216

24/216

6/216

24/216

6/216

- terminée par une diffusion dans la troisième dimension

Couche supérieure

1

4

1

4

16

4

1

4

1

Somme de pondérations = 36/216

Couche intermédiaire

4

16

4

16

64

16

4

16

4

Somme de pondérations = 144/216

Couche inférieure

1

4

1

4

16

4

1

4

1

Somme de pondérations = 36/216

  Quoique plus élégante cette technique ralentit l'exécution. En effet , à chaque équilibrage, elle exige :
-  le rappel des contenus de  27 cellules et autant d'additions
- 4 types de pondérations
- 1 copie.

  En revanche, le traitement  en 3 étapes successives pour chacune des dimensions demande pour le même résultat :
- 9 rappels et additions
- 2 types de pondération
- 3 copies.

  D'où un gain de temps particulièrement appréciable en 3D.
  En effet T(2,L,M,N) comporte une dimension supplémentaire : L couches de cellules. Le programme s'alourdit d'une nouvelle boucle imbriquée et le temps de calcul s'en trouve augmenté d'un facteur L .


3.2 Application tridimensionnelle

3.2.1 - Diffusion dans une sphère

Solution analytique

  Des conditions initiales et des conditions aux limites concentriques simplifient la résolution.

  C'est le cas de la sphère de rayon R à température initiale nulle, maintenue à température de surface constante T0 à partir de t0 .

 La solution analytique est donnée dans : Conduction of Heat in Solids de Carslow & Jaeger.

  Avec les paramètres sans dimension : x/R, Dt/R² et T/To :

on constate une concordance quasi parfaite entre la théorie et la simulation.

Résolution par simulation

  Elle a été réalisée sur un cube virtuel   -52<x<52 , -52<y<52 , -52<z<52.
 1   Les cellules occupées par la sphères sont mentionnées dans  T(0,x,y,z) : 
      - T(0,x,y,z) = 0 si    x²+y²+ z² < 50²
      - T(0,x,y,z) = 1 partout ailleurs.
 2   Conditions initiales :
      - T(1,x,y,z) = T(0,x,y,z)
 3   Diffusion dans l'ensemble du "cube" quelle que soit l'affectation des cellules
      - selon x en reportant, en boucle depuis i= -51 jusqu'à i = 51, les résultats des transferts élémentaires selon :

T(2,xi,y,z) = T(1,xi-1,y,z) + 4 * T(1,xi,y,z) + T(1,xi+1,y,z)

     - divisions et copies, dans une nouvelle boucle aux caractéristiques identiques : 

T(1,xi,y,z =  T(1,xi,y,z) / 6

    - mêmes opérations pour les deux autres dimensions.
4  Réajustement des températures extérieures à la sphère en restituant  T(1,x,y,z) = 1 dans toute les cellules externes,
     celles  pour lesquelles T(0,x,y,z) = 1.

  La répétition des étapes 3 et 4 simule l'échauffement progressif  de la sphère, des tracés périodiques des températures atteintes sur un rayon permettent de comparer aux profils théoriques.


3.2.2 - Diffusion dans un cylindre de hauteur finie

  La solution analytique du cylindre circulaire à température initiale nulle, dont la  température de surface est maintenue constante à partir de t=0 , est connue mais assez compliquée à programmer.

  En revanche, celle du cylindre infini a déjà été décrite et utilisée dans la page traitant de la diffusion bidimensionnelle.

  A mi-hauteur de ce cylindre, les profils théoriques de température, ( représentés en rouge sur la figure ci-contre ) coïncident avec ceux de la simulation numérique ( en bleu ), aussi longtemps que les apports de la chaleur provenant des deux faces opposées restent négligeables à ce niveau.

  Utiliser des coordonnées cylindriques diminuerait les temps de calcul, mais seulement pour des structures présentant une symétrie axiale dans leur forme et leur composition.

  Les coordonnées cylindriques seront utilisées pour simuler la propagation des ondes sonores au delà des murs anti-bruit sous réserve qu'ils soient circulaires.


3.2.3 - Diffusion dans une poulie à gorge

  Ce test réussi, le procédé est applicable aux objets pour lesquelles aucune méthode analytique n'est envisageable.
  C'est manifestement le cas de la poulie à gorge, de températureinitiale nulle, maintenue à  température de surface constate à partir  de t=0 .

  Ces 4 coupes, selon un plan passant par l'axe, correspondent à des temps de chauffage linéairement croissants.

  Dans un milieu unidimensionnel semi infini,  les isothermes progressent en fonction de la racine carrée du temps de diffusion : en doublant les dimensions d'un échantillon, le temps nécessaire pour atteindre les mêmes températures seront quadruplés. Alors, en tridimensionnel ...

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