Diffusion unidimensionnelle

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Diffusion tridimensionnelle

Simulation numérique de la diffusion de la chaleur

2 Diffusion bidimensionnelle

1 Diffusion unidimensionnelle

2 Diffusion bidimensionnelle

3 Diffusion tridimensionnelle

4 Application aux ponts thermiques

5 Simulations dynamiques

6 Changement d'état

7 Déconvolution numérique

8 Défloutage photo


2.1 Différences finies appliquées à la diffusion bidimensionnelle

  Considérons 9 cellules adjacentes d'un réseau de cellules soumis à une diffusion bidimensionnelle, dont les températures sont nulles au temps zéro, à l'exception de l'élément central dont la température serait 36.

  Supposons un mécanisme de diffusion isotrope, opérant alternativement selon x puis selon y.

0

0

0

0

36

0

0

0

0

- 1ere étape

  La diffusion opère seulement horizontalement, le coefficient de diffusion étant supposé nul dans la direction y

  L'application de la règle (1.7) donne la nouvelle répartition à la fin de ce premier temps.

0

0

0

6

24

6

0

0

0

- 2eme étape

  Maintenant, au contraire, la diffusion s'exerce seulement selon les 3 colonnes verticales. La même règle donne la répartition en fin de cycle

  L'ordre d'exécution de ces deux étapes n'influe aucunement sur le résultat final.

1

4

1

4

16

4

1

4

1

  D'où les neuf coefficients de pondération

1/36

4/36

1/36

4/36

16/36

4/36

1/36

4/36

1/36


2.2 Technique opératoire

  Pour une simulation portant sur M x N cellules on utilisera une variable dimensionnée T(2,M,N) .
  Les températures initiales seront rentrées dans chacune des cellules concernées T(1.I,J) .
  A chaque étape, les nouvelles températures seront calculées avec les 9 coefficients de pondération ci-dessus et stockées temporairement dans T(2.M,N), puis, en fin de cycle, recopiées dans T(1.M,N) 

  Au lieu de recourir aux 3 pondérations 1/36 , 4/36 et 16/36 , il est moins élégant mais plus rapide d'opérer en deux temps avec les pondérations de la diffusion unidimensionnelle : un cycle de diffusion selon x immédiatement suivi d'un second cycle selon y . Cela conduit plus rapidement au même résultat final. .
  En simulation 3D la durée d'exécution s'en trouve réduite de moitié, conséquence d'un nombre moindre de lectures en mémoire.

  Les conditions aux limites appliquées en diffusion unidimensionnelle seront adaptées au bidimensionnel. 


2.3 Validation

  Si le gradient thermique dans une des directions reste nul dans la totalité du volume considéré, le problème se traitera en deux dimensions. Ce serait le cas du refroidissement d'une tige de longueur infini ou d'un parallélépipède parfaitement isolé sur deux faces opposées.

Diffusion dans un cylindre circulaire infini.

  Soit un cylindre de grande longueur L par rapport à son rayon R . Sa température initiale est nulle et sa température de surface portée à T au temps 0 . En toute rigueur, il conviendrait de travailler en trois dimensions et de tenir compte des flux thermiques provenant des deux extrémités , mais cette contribution sera négligeable dans la zone centrale surtout pour les temps courts.

- Solution analytique

  En coordonnées cylindriques l'équation de diffusion de la chaleur devient :

mais, si les conditions initiales et les conditions aux limites sont indépendantes de z et de "thêta", elle se réduit à :

 

  Cette forme est donc applicable au cylindre circulaire infini de température initiale nulle, maintenu à température de surface constante pour  t > 0 . La solution est donnée à la page 199 de " Conduction of Heat in Solids " de Carslaw & Jaeger

expression faisant appel à la fonction de Bessel de première espèce, où les successifs sont les nièmes racines de :

n 1 2 3 4 5 6 7 8
ßn 2.404 83 5.520 08 8.653 73 11.791 53 14.930 92 18.071 06 21.211 64 24.352 47

 Les profils radiaux de température ainsi calculés sont portés en rouge sur la figure ci-dessous.

 - Résolution numérique

  Ici, la simulation porte sur un carré de 104x104 cellules dont un cercle de rayon 50 cellules.

  Pour faciliter l'exploitation du graphique, toutes les valeurs numériques sont des paramètres sans dimension.

  Chacune des courbes bleues représente la répartition de la température simulée, le long d'un rayon pour des temps croissants de diffusion 

  La conformité des deux méthodes confirme la fiabilité de la simulation 2D.


2.4 Diffusion dans un rectangle infini.

  Considérons un coin d'un rectangle de dimensions infinies, de température initiale nulle, dont les côtés sont portés à une température unité à partir du temps zéro.

  - Solution analytique

  - Résolution numérique

  S'agissant de dimensions semi-infinies, l'artifice limitant les effets de bord en unidimensionnel sera adapté au cas présent.

  La partie essentielle de la simulation 2D comporte seulement ces quelques lignes

 - Programmation Visual Basic -

  Dans ce test comparatif la température superficielle est fixée à 1.

 Le tableau ci-contre affiche les température relevées dans les cellules T(25 I, 25 J) pour I et J croissants de 1 à 8.

  Les températures théoriques figurent sous les valeurs issues de la simulation.

  La concordance des résultats valide parfaitement l'extension à deux dimensions.

  Ce tableau se prête parfaitement à un examen précis des résultats, en revanche la répartition générale des températures apparaîtra beaucoup mieux sur une image colorée, comportant isothermes et lignes de flux thermique.


2.5 Représentation graphique

2.5.1 Coloriage

  La plus simple des représentations graphiques consiste à adopter une échelle de couleurs fonction de la température de chaque point.
  La gamme de couleur utilisée ci-dessous correspond au dosage :
- rouge = 255 * T * ( 2.2 - T )
- vert    = 900 * T * ( 1 -T)
- bleu    = 255 * ( 1 - T )

  Pour respecter la coutume, la coloration évolue du bleu vers le rouge quand la température s'élève.
  Cette regrettable inversion est probablement due aux reflets bleutés de la neige, et à la couleur des braises, réputées chaudes mais de température bien trop basse pour émettre dans le jaune ou le bleu.
  Pour confirmation de ce point de vue, consultez l'article de Wikipédia consacré à la Température de couleur.

2.5.2 Isothermes

 Il est à peine plus compliqué de superposer des courbes isothermes : seront noircies toutes les cellules dont au moins 1 des 8 plus proches voisines appartient à une zone de températures inférieures.

  Ref = Int(Nbr_Iso * T(1, I, J)) - 1 
  Som = 0
  For L = -1 To 1
        For M = -1 To 1
              If Int(Nbr_Iso * T(1, I + L, J + M)) = Ref Then Som = Som + 1
        Next M
  Next L
  If Som > 1 Then Picture3.PSet (I, J), RGB(0, 0, 0)

2.5.3 Lignes de flux

  L'ensemble sera complété par le tracé des lignes de flux thermique (LDF), pas par pas, selon la méthode utilisée pour définir les lignes de plus grande pente.

  Disposant de la solution analytique, dans un test préliminaire ces LDF seront calculées de deux façons, depuis les températures simulées et avec la solution analytique à titre de contrôle.

- Solution analytique

  Ces lignes théorique sont tracées selon le procédé exploité pour les lignes de plus grande pente dans les pages consacrées à la régression multiple. La surface y est définie par une fonction de la forme :

et les lignes de plus grades pente sont tracées pas par pas à partir des dérivées partielles selon x et y .

  Ici, en imposant un température superficielle unité, le procédé sera appliqué sur :

et ses deux dérivées partielles :

- Simulation numérique

  Dans la plupart des cas concrets, il n'existe aucune solution analytique permettant de calculer ces deux dérivées partielles.
  La distribution des températures y est beaucoup trop compliquée pour envisager une approximation fidèle par une régression multiple. 
  A défaut de dérivées partielles, le recours aux différences finies conduit à une approximation satisfaisante.
  Pour cela les deux dérivées partielles seront supposées constantes dans chacune des cellules , de valeur proportionnelle à la différence de température des deux cellules adjacentes selon X et selon Y :

.

ces approximations étant utilisées pour le tracé pas par pas sur l'ensemble de la cellule de coordonnées i,j . Si besoin était, la longueur des pas serait diminuée pour affiner le tracé. 

  Ceci revient à couvrir  une courbure continue par une juxtaposition d'éléments quadrangulaires plans.

  Cette présentation colorée correspond à la simulation exposée dans le précédent tableau.

  Après tracé des isothermes, les lignes de flux issues de la solution analytique ont été portées en blanc.

   Celles établies depuis la simulations,  verte, les recouvrent au pixel près, à l'exception des quelques points blancs .

  La superposition des isothermes et des lignes de flux, forme effectivement un double réseau de courbes orthogonales.

  Ce test valide les algorithmes numériques utilisés pour traiter les structures bidimensionnel sans solution analytique.

Animation

  Des enregistrements périodique des images intermédiaires permettent de créer des animations, sans grand intérêt technique mais intéressantes sur le plan didactique.

  Attention aux dimensions du modèle présenté. Malgré leur petite tailles (100x100 cellules) les 100 vues de la séquence ci-contre ont exigé 12 minutes de calcul sur un micro équipé d'un micro processeur  Intel Core 2 Duo T7250 - 2.0 GHz .


2.6 Accélération des calculs

  En 2D, a fortiori en 3D, la simulation des écoulements de chaleur exige des temps de calcul importants.

  Dans les études d'isolation où l'on s'intéresse seulement au régime d'équilibre, il est alors plus rapide d'attribuer à l'ensemble des constituants une température initiale uniforme intermédiaire entre les températures intérieure et extérieure.

  Pour des simulations comportant un grand nombres de cellules il sera plus rentable d'opérer en 3 temps.

  Soit l'angle de bâtiment chauffé mais non isolé, extérieur en bleu uni, intérieur en rouge. Dans une simulation portant sur un carré de 200x200 cellule les circonstances imposent d'attribuer 50 cellules à l'épaisseur du mur;

- Premier temps

  Une pré-diffusion à grands pas, portant sur un nombre restreint de cellules, 1/5 en abscisse et 1/5 en ordonnée, menée avec un nombre de cycles permettant d'avoisiner au mieux l'équilibre thermique.
  Sur le dessin, chacun des carrés de 5x5 cellules est affecté de la couleur correspondant à la température de la cellule centrale.

- Deuxième temps

Un lissage par interpolation à l'intérieur de chaque carré 6x6 à partir des températures des 4 sommets :

TI,J

TI+1,J

TI+2,J

TI+3,J

TI+4,J

TI+5,J

TI,J+1

         

TI,J+2

   

TI+M,J+N

   

TI,J+3

         

TI,J+4

         

TI,J+5

       

TI+5,J+5

For I = 3 To 198 Step 5
  For J = 3  To 198 Step 5
    For M = 0 To 5
      For N = 0 To 5
        T(I + M, J + N) = (T(I, J) * (5 - M) * (5 - N)  + T(I + 5, J) * M * (5 - N)
                                   + T(I, J + 5) * (5 - M) * N  + T(I + 5, J + 5) * M * N) / 25
      Next N
    Next M
  Next J
Next I

- Troisième temps

  Une simulation "classique", les deux premières étapes ayant défini des conditions initiales plus favorables.

 Ces procédés seront exploités dans les applications concrètes telles que " Pontermic ", présenté en 4 ème page.


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