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ANNEXE 2

Méthode des sources virtuelles

Diffusion dans un milieu d'épaisseur finie limité par deux plans parallèles.

  Le problème sera traité dans le cadre général d'un mur d'épaisseur 2L , de température initiale nulle, dont la température superficielle en x=0 est une fonction donnée du temps f(t)

  Deux cas distincts, selon que la face opposée est idéalement isolée ou bien maintenue à 0°C

1 Face +L isolée

  Condition initiale : Tx,t = 0 pour -L < x < L et t < 0
  Conditions aux limites : T-L,t = f(t) et FluxL,t = 0 pour t > 0

  Ceci revient à interdire tout flux thermique en +L

  Supposons que la solution soit connue pour un milieu semi infini, de température initiale nulle soumis à une même évolution   de la température superficielle:

  Soit F(x,t) cette solution,  présentée ci-dessous pour 3 durées successives.

  Cette solution, applicable aux milieux semi-infinis sera néanmoins exploitée pour en déduire la solution d'un mur fini soumis aux mêmes conditions.
  Pour les temps courts, aussi longtemps que la température restera négligeable au voisinage de la face opposée, la solution F(x,t) conviendra également pour le mur d'épaisseur finie.

  Lorsque cette  contribution deviendra significative en x=L il sera indispensable de la compenser en introduisant un terme correctif. Ce serait la contribution d'un mur virtuel, de même épaisseur, accolé au précédent en x = L , soumis au même programme thermique T3L,t =  f(t) depuis  t=0.

  Ainsi, le flux global restera constamment nul en  x = L. Cet ajout suffira tant que la contribution de cette première source virtuelle restera négligeable en -L.

  Au delà de ce temps, une seconde source virtuelle, négative, en -5L, compensera cette influence.

  En poursuivant ainsi , la répartition des températures en fonction du temps, courbe rouge, sera la somme de toutes ces sources de chaleur :

2 Température nulle en +L

  Condition initiale : Tx,t = 0 pour -L < x < L et t < 0
  Conditions aux limites : T-L,t = f(t) et TL,t = 0 pour t > 0

  Les source virtuelles sont disposées de façon à neutraliser leurs effets en -L et +L

  f(t) peut être une fonction périodique du temps, par exemple :

dans ce cas, la somme des contributions de la source réelle et de toutes les sources virtuelle conduit à :

(4.2)

3 Température nulle en -L

  Condition initiale : Tx,t = 0  pour  -L < x < L  et  t < 0
  Conditions aux limites :  T-L,t = 0  et  TL,t = f(t)  pour  t > 0

  Si, inversement, la face -L était maintenue à 0°C et que la température de face +L oscille avec une amplitude, une pulsation et un déphasage différents :

  L'expression prend alors la forme :

(4.3)