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Déconvolution des spectres

Déconvolution numérique

1 Calcul des coefficients de pondération 

1 Calcul des coefficients de pondération

2 Déconvolution des spectres

3 Défloutage photo


  Tant que les conditions aux limites restent inchangées les processus de diffusion sont par nature irréversibles : la chaleur se propage inexorablement des zones chaudes vers les zones froides. Une propagation inversée, impensable selon les lois de la thermodynamique puisque l'entropie diminuerait,  est réalisable numériquement pour accéder aux états antérieurs à partir d'une répartition de chaleur observée.

  La détermination des coefficients de pondération et leur utilisation seront calquées sur la simulation numérique de la diffusion.

  Décrire les temps passés comme les historiens et non remonter le temps comme les héros de science-fiction.


1.1 Calcul des coefficients de pondération de déconvolution unidimensionnelle 

  Le problème se résoudra en inversant le signe du temps dans l'équation '1.1) des pages Simulation numérique de la diffusion de la chaleur :

(1.1)

  Il conviendrait de démontrer la légitimité de cette opération, elle fournit des simulations  pertinentes, c'est déjà bon signe !

  Bien que le terme rétrodiffusion décrive déjà des mécanismes physiques classiques, il désignera ici l'opération assurant le retour à un état antérieur de la diffusion.

  La démonstration sera similaire à celle utilisée pour le traitement numérique de la diffusion

  L'approximation :

(1.2)

reste inchangée puisqu'elle est définie à temps constant, mais s'agissant de remonter le temps l'approximation 

devient ici :

(1.3)

(1.2) et (1.3)  reportées dans (1.1)  donnent :

(1.4)

Dériver l’équation de la diffusion (1.1) par rapport au temps ou deux fois par rapport à x donne :

et

d’où

  (1.4) devient alors :

 

  Et finalement, en adoptant

comme pour la simulation numérique de la diffusion :

(1.5)

qui simulera la rétrodiffusion, comme :

simule la diffusion.

 1.2 Programmation

  La rétrodiffusion s'appliquera de façon semblable à la simulation numérique de la diffusion,
  Pour un nombre de cycles prédéterminé, entre les deux limites imposées, le programme calcule les 3 produits des contenus de 3 cellules consécutives par les coefficients correspondants, en fait la somme, la divise par 6 et mémorise le résultat. Il avance d'un pas et recommence jusqu'à la limite supérieure.
  Ce premier test opère avec les coefficients de pondération :

Pond(-1) = -1
Pond(0) = 8
Pond(11) = -1

  Si la fine tranche centrale d'une barre métallique, parfaitement isolée de toutes parts, est portée à 2 000° C durant un bref instant, cette  chaleur se répartira selon une distribution gaussienne. .

  La simulation de cette diffusion de la chaleur opère par successifs, arrêtée après le 20 ème cycle elle épouse le profil bleu, dit " Profil initial " 

  40 nouveaux cycles de diffusion conduisent au profil convolué.

  Pour neutraliser la convolution provoquée par cette diffusion  40 déconvolutions sont appliquées selon le programmes ci-dessus.

  Le nouveau profil ainsi obtenu se superpose de façon très satisfaisante au profil initial.

   Cependant, sous cette forme, le procédé serait 

 inapplicable aux résultats expérimentaux. En effet la moindre altération du profil convolué compromet l'opération.

   Après répartition et avant déconvolution le contenu de la cellule centrale se trouve abaissé de  2 000  à 204.490 126 912 765

  Aucun changement observable en arrondissant manuellement à 204.490 127

  En revanche, arrondir à : 204.490 13 provoque une catastrophe !

  Cette légère altération ponctuelle se superpose au profil gaussien et subit elle aussi les déconvolutions seulement destinées aux profils gaussiens. Cela induit des perturbations qui s'amplifient à chaque étape de la déconvolution.

  Cet inconvénient sera limité en alternant déconvolution et lissage Staviky-Golay avec les paramètres de la dernière colonne de la seconde table

. Ainsi, un arrondi à  204 émousse seulement la pointe.
La méthode devient donc applicable aux relevés expérimentaux comportant des fluctuations statistiques.

  Plutôt que d'alterner ces deux opérations il est préférable de les mener de front en utilisant le produit de convolution des deux types de paramètres :
- ceux de la rétrodiffusion :

-1/6

8/6

-1/6

- et ceux du lissage Savitzky-Golay

5 / 231 -30 / 231 75 / 231 130 / 231 75 / 231 -30/231 5/231

  Il en résulte les 9 coefficients de déconvolution :

-5 70 -320 499 898 499 -320 70 -5

et une norme de  6* 231 = 1386.

  En exploitant la symétrie des coefficients et en adoptant :

Pond(0) = 898
Pond(1) = 499
Pond(2) = -320
Pond(3) = 70
Pond(4) = -5

la programmation de ce regroupement devient :

  Sous cette forme, la méthode devient applicable aux gaussiennes se chevauchant, qu'elles soient rigoureusement reproduites ou déformées jusqu'à devenir des trapèzes ayant mêmes positions et mêmes surfaces.

  Pour les deux gaussiennes la restitution est quasi parfaite.
  Pour les trapèzes elle s'est effectuée en arrondissant les angles mais positions et surfaces sont respectées. Les déformations trapézoïdales s'en trouvent même corrigées.


1.2 Calcul des coefficients de pondération de déconvolution bidimensionnelle

  La rétrodiffusion bidimensionnelle pourrait se réaliser avec les coefficients unidimensionnels (7.2)., appliqués alternativement sur toutes les lignes puis sur toutes les colonnes, en reprenant ce double balayage au cycle suivant.
  Selon les applications, il peut être plus avantageux de regrouper les calculs en utilisant ce tableau de coefficients :

1/36 -8/36 1/36
-8/36 64/36 -8/36
1/36 -8/36 1/36

  L'opération sera menée comme pour la simulation de la diffusion : à chaque cycle la nouvelle valeur d'une cellule sera la somme de 9 produits des valeurs relevées sur la cellule centrale et ses 8 voisines par le coefficient correspondant.


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