Notation Polonaise Inverse

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Analyse numérique des fonctions

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2.1 Calculatrice NPI virtuelle

Entrées numériques
  Ce pavé numérique virtuel est destiné à l'introduction des constantes du programme :
- constantes ajustables si le nombre introduit, avant ou pendant l'écriture du programme, est validé par l'une des touches StoA, StoB ... StoH
- constante fixe si le nombre introduit en cours de programmation est validé par la touche "Enter".

Effacement
  Les 4 touches effacent respectivement
- l'affichage des entrées numériques
- les 8 mémoires A à H
- le programme courant
- le graphique.

Rappels mémoires
  Pour limiter les risques d'erreur de programmation les mémoires vides sont indisponibles.

Instructions
  Selon la règle NPI, elles seront toujours introduites après l'opérande.
  A signaler : 
- x^y  l'exposant y doit précéder x
-  !  l'opération est aussi applicable aux réels (il s'agit en fait de la fonction gamma).

Tracés
  Après ou pendant l'écriture du programme les 4 touches supérieures assurent le tracé de la fonction et de ses deux premières dérivées.
  Ces trois courbes sont déplaçables et dilatables verticalement à l'aide des barres de défilement.

Résultats
  Après avoir positionné les limites inférieure et supérieure à l'aide des barres de défilement situées sous le graphique, les commandes assurent respectivement:- la localisation du premier maximum de la fonction courante
- du premier minimum
- du premier zéro
- ou l'intégration entre les deux limites, selon une méthode numérique décrite. sur une autre page.


2.2 Affichage des constantes et du programme

  Dans le menu, "Affichage" propose 4 options.

  Les constantes A à H ont été validées par les touches StoA à StoH, contrairement à celles validées par "Enter", elles sont réajustables.

  Si le tableau "Programme" est utile pendant l'écriture d'un programme, sa présence est indispensable pour le corriger.


2.3 Ecrire, enregistrer et relire un programme

  La programmation est toujours disponible. Après exécution, de nouvelles instructions peuvent compléter le programme courant, il sera donc indispensable de l'effacer avant d'en écrire un nouveau.

  Le menu "Edition" permet de mémoriser  et de rappeler 5 programmes et leurs constantes.


2.4 Exécution

  La plupart des instructions utilisent les fonctions de Visual Basic 5 , sauf factoriel, les dérivations ...
  La fonction est calculée à raison de 40 pas par unité de longueur (1 pas/pixel) de  x = - 23.5  à  x = 31.5
  A l'exception des fonctions présentant de brutales variations, ces méthodes numériques fournissent le plus souvent des résultats d'excellentes précisions, quelques tests le confirmeront.

Fonction Gamma
  Cette fonction, présentée sur une des pages consacrées aux suites récurrentes, est liée aux factoriels, pour x entier :

  .

Zéro
  Le premier zéro situé à droite de l'index rouge matérialisant la position de X1 est calculé par interpolation linéaire entre les deux points situés de part et d'autre de l'axe des X .

Mini et maxi
  Ils sont localisés comme les zéros de la fonction, mais en travaillant sur la dérivée.
  La seconde démonstration est une approximation de sin(x), calculée avec les 7 premiers termes de son développement en série, et donc applicable seulement aux petites valeurs de  x. Les abscisses de ses extremum les plus proches de l'origine. correspondent aux aux valeurs théoriques à 10-6 près :

Dérivées
  Elles sont calculées selon la méthode de Savitzky et Golay, plus précise que les différences finies, en utilisant les coefficients de pondération de la table 5 pour la dérivée et de la table 7 pour la dérivée seconde  :

  Pour ces deux dérivées la technique affiche une dizaine de chiffres exactes : un test sur  y = exp(x) vérifie y = y' = y" avec des erreurs relatives inférieures à 10-10.
  De même, pour  y = sin x on retrouve  y" = -y  avec des écarts comparables.

  L'utilisation de l'algorithme Savitzky et Golay suppose que la fonction soit continue sur le domaine de la convolution, son utilisation au voisinage d'une discontinuité conduirait à des résultats aberrants.

Intégration
  L'algorithme utilisé est décrit dans la page dédiée à l'intégration numérique.
  Après avoir écrit et tracé la fonction à intégrer, utiliser les barres de défilement du bas pour placer les index x1 et x2 aux limites d'intégration, puis cliquer la commande " Intégrale "
  En l'absence de discontinuité la précision dépasse généralement les 8 décimales.
  La première démonstration assure le tracé de la fonction   y = x1/2 . Son intégration entre 1 et 16 affiche exactement  42 et 9 zéros.


 

  En revanche, l'intégration entre 0 et 9 de la même fonction conduit à une approximation grossière :

 17,999 688 020 

au lieu du 18 attendu.

  Le mode d'intégration numérique explique cet écart


2.5 Correction d'un programme

  Il est indispensable d'afficher le programme.
  Pour compléter un programme il suffit de poursuivre normalement l'introduction des instructions.
  Pour effacer un instruction, cliquer d'abord son numéro puis la commande "Supprimer".
  Pour inclure une instruction, l'ajouter à la liste, cliquer le numéro de la case de destination puis la commande "Insérer".

Remarque :Lors des corrections, un nombre et l'instruction "Enter" forment un tout.


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